Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | expgrowth.s |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) |
2 | | cnelprrecn 10029 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ℂ
∈ {ℝ, ℂ} |
3 | 2 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ,
ℂ}) |
4 | | expgrowth.k |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ) |
5 | | recnprss 23668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}
→ 𝑆 ⊆
ℂ) |
6 | 1, 5 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ) |
7 | 6 | sseld 3602 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑢 ∈ ℂ)) |
8 | | mulcl 10020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ) |
9 | 4, 7, 8 | syl6an 568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)) |
10 | 9 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ) |
11 | 10 | negcld 10379 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → -(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ) |
12 | 4 | negcld 10379 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ) |
13 | 12 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → -𝐾 ∈ ℂ) |
14 | | efcl 14813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑦 ∈ ℂ →
(exp‘𝑦) ∈
ℂ) |
15 | 14 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈
ℂ) |
16 | 4 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ ℂ) |
17 | 7 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ ℂ) |
18 | | ax-1cn 9994 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ 1 ∈
ℂ |
19 | 18 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℂ) |
20 | 1 | dvmptid 23720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝑢)) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 1)) |
21 | 1, 17, 19, 20, 4 | dvmptcmul 23727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1))) |
22 | 4 | mulid1d 10057 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝐾 · 1) = 𝐾) |
23 | 22 | mpteq2dv 4745 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1)) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾)) |
24 | 21, 23 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾)) |
25 | 1, 10, 16, 24 | dvmptneg 23729 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾)) |
26 | | dvef 23743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (ℂ
D exp) = exp |
27 | | eff 14812 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
exp:ℂ⟶ℂ |
28 | | ffn 6045 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ) |
29 | 27, 28 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ exp Fn
ℂ |
30 | | dffn5 6241 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (exp Fn
ℂ ↔ exp = (𝑦
∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) |
31 | 29, 30 | mpbi 220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ exp =
(𝑦 ∈ ℂ ↦
(exp‘𝑦)) |
32 | 31 | oveq2i 6661 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (ℂ
D exp) = (ℂ D (𝑦
∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) |
33 | 26, 32, 31 | 3eqtr3i 2652 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (ℂ
D (𝑦 ∈ ℂ ↦
(exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦
(exp‘𝑦)) |
34 | 33 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦
(exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦
(exp‘𝑦))) |
35 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 = -(𝐾 · 𝑢) → (exp‘𝑦) = (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) |
36 | 1, 3, 11, 13, 15, 15, 25, 34, 35, 35 | dvmptco 23735 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))) |
37 | 36 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘𝑓 · (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))) |
38 | | expgrowth.y |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑆⟶ℂ) |
39 | | efcl 14813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ) |
40 | 11, 39 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ) |
41 | 40, 13 | mulcld 10060 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾) ∈ ℂ) |
42 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)) |
43 | 41, 42 | fmptd 6385 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)):𝑆⟶ℂ) |
44 | 36 | feq1d 6030 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ ↔ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)):𝑆⟶ℂ)) |
45 | 43, 44 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ) |
46 | | mulcom 10022 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)) |
47 | 46 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)) |
48 | 1, 38, 45, 47 | caofcom 6929 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘𝑓 · (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 ·
𝑌)) |
49 | 37, 48 | eqtr3d 2658 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))) = ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 ·
𝑌)) |
50 | 49 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (𝑌 ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 ·
𝑌))) |
51 | | fconst6g 6094 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (-𝐾 ∈ ℂ → (𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ) |
52 | 12, 51 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ) |
53 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) |
54 | 40, 53 | fmptd 6385 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶ℂ) |
55 | 1, 52, 54, 47 | caofcom 6929 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) ∘𝑓 ·
(𝑆 × {-𝐾}))) |
56 | | eqidd 2623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) |
57 | | fconstmpt 5163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑆 × {-𝐾}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾) |
58 | 57 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑆 × {-𝐾}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾)) |
59 | 1, 40, 13, 56, 58 | offval2 6914 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) ∘𝑓 ·
(𝑆 × {-𝐾})) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))) |
60 | 55, 59 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))) |
61 | 60 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘𝑓 ·
((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))) |
62 | 61 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (𝑌 ∘𝑓
· ((𝑆 ×
{-𝐾})
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (𝑌 ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))))) |
63 | | expgrowth.dy |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆) |
64 | 36 | dmeqd 5326 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = dom (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))) |
65 | 42, 41 | dmmptd 6024 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → dom (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)) = 𝑆) |
66 | 64, 65 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑆) |
67 | 1, 38, 54, 63, 66 | dvmulf 23706 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 ·
𝑌))) |
68 | 50, 62, 67 | 3eqtr4rd 2667 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (𝑌 ∘𝑓
· ((𝑆 ×
{-𝐾})
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))) |
69 | | ofmul12 38524 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧
𝑌:𝑆⟶ℂ) ∧ ((𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶ℂ)) → (𝑌 ∘𝑓 ·
((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) |
70 | 1, 38, 52, 54, 69 | syl22anc 1327 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘𝑓 ·
((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) |
71 | 70 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (𝑌 ∘𝑓
· ((𝑆 ×
{-𝐾})
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))) |
72 | 68, 71 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))) |
73 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌) → ((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) |
74 | 73 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌) → (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))) |
75 | 72, 74 | sylan9eq 2676 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))) |
76 | | mulass 10024 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))) |
77 | 76 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))) |
78 | 1, 52, 38, 54, 77 | caofass 6931 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) |
79 | 78 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))) |
80 | 79 | eqeq2d 2632 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))) |
81 | 80 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))) |
82 | 75, 81 | mpbird 247 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) |
83 | | mulcl 10020 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ) |
84 | 83 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ) |
85 | | fconst6g 6094 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐾}):𝑆⟶ℂ) |
86 | 4, 85 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐾}):𝑆⟶ℂ) |
87 | | inidm 3822 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑆 ∩ 𝑆) = 𝑆 |
88 | 84, 86, 38, 1, 1, 87 | off 6912 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌):𝑆⟶ℂ) |
89 | 84, 52, 38, 1, 1, 87 | off 6912 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌):𝑆⟶ℂ) |
90 | | adddir 10031 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) |
91 | 90 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) |
92 | 1, 54, 88, 89, 91 | caofdir 6934 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) |
93 | 92 | eqeq2d 2632 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))) |
94 | 93 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))) |
95 | 82, 94 | mpbird 247 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) |
96 | | ofnegsub 11018 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧
((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓
· 𝑌):𝑆⟶ℂ ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌):𝑆⟶ℂ) → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓
· ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓
· 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 − ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))) |
97 | 1, 88, 88, 96 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓
· ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓
· 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 − ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))) |
98 | | neg1cn 11124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ -1 ∈
ℂ |
99 | 98 | fconst6 6095 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑆 × {-1}):𝑆⟶ℂ |
100 | 99 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑆 × {-1}):𝑆⟶ℂ) |
101 | 1, 100, 86, 38, 77 | caofass 6931 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {-1}) ∘𝑓
· (𝑆 × {𝐾})) ∘𝑓
· 𝑌) = ((𝑆 × {-1})
∘𝑓 · ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))) |
102 | 98 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → -1 ∈
ℂ) |
103 | 1, 102, 4 | ofc12 6922 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓
· (𝑆 × {𝐾})) = (𝑆 × {(-1 · 𝐾)})) |
104 | 4 | mulm1d 10482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐾) = -𝐾) |
105 | 104 | sneqd 4189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → {(-1 · 𝐾)} = {-𝐾}) |
106 | 105 | xpeq2d 5139 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑆 × {(-1 · 𝐾)}) = (𝑆 × {-𝐾})) |
107 | 103, 106 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓
· (𝑆 × {𝐾})) = (𝑆 × {-𝐾})) |
108 | 107 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {-1}) ∘𝑓
· (𝑆 × {𝐾})) ∘𝑓
· 𝑌) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) |
109 | 101, 108 | eqtr3d 2658 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓
· ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓
· 𝑌)) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) |
110 | 109 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓
· ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓
· 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))) |
111 | | ofsubid 38523 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧
((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓
· 𝑌):𝑆⟶ℂ) → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 − ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) = (𝑆 × {0})) |
112 | 1, 88, 111 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 − ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) = (𝑆 × {0})) |
113 | 97, 110, 112 | 3eqtr3d 2664 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) = (𝑆 × {0})) |
114 | 113 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {0}) ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) |
115 | 114 | eqeq2d 2632 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) |
116 | 115 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) |
117 | 95, 116 | mpbid 222 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) |
118 | | 0cnd 10033 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℂ) |
119 | | mul02 10214 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0
· 𝑥) =
0) |
120 | 119 | adantl 482 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0) |
121 | 1, 54, 118, 118, 120 | caofid2 6928 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {0}) ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {0})) |
122 | 121 | adantr 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → ((𝑆 × {0})
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {0})) |
123 | 117, 122 | eqtrd 2656 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑆 × {0})) |
124 | 1 | adantr 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → 𝑆 ∈ {ℝ,
ℂ}) |
125 | 84, 38, 54, 1, 1, 87 | off 6912 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ) |
126 | 125 | adantr 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → (𝑌 ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ) |
127 | 123 | dmeqd 5326 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → dom (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = dom (𝑆 × {0})) |
128 | | 0cn 10032 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 0 ∈
ℂ |
129 | 128 | fconst6 6095 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑆 × {0}):𝑆⟶ℂ |
130 | 129 | fdmi 6052 |
. . . . . . . 8
⊢ dom
(𝑆 × {0}) = 𝑆 |
131 | 127, 130 | syl6eq 2672 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → dom (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = 𝑆) |
132 | 124, 126,
131 | dvconstbi 38533 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}))) |
133 | 123, 132 | mpbid 222 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥})) |
134 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑌 ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ((𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) |
135 | | efne0 14827 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0) |
136 | | eldifsn 4317 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((exp‘-(𝐾
· 𝑢)) ∈
(ℂ ∖ {0}) ↔ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) |
137 | 39, 135, 136 | sylanbrc 698 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖
{0})) |
138 | 11, 137 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖
{0})) |
139 | 138, 53 | fmptd 6385 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶(ℂ ∖
{0})) |
140 | | ofdivcan4 38526 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧
𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶(ℂ ∖ {0})) →
((𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑌) |
141 | 1, 38, 139, 140 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑌) |
142 | 141 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) |
143 | 134, 142 | syl5ib 234 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) |
144 | 143 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) |
145 | | vex 3203 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑥 ∈ V |
146 | 145 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ V) |
147 | | ovexd 6680 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ V) |
148 | | fconstmpt 5163 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑆 × {𝑥}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥) |
149 | 148 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝑥}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)) |
150 | | efneg 14828 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) = (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) |
151 | 10, 150 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) = (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) |
152 | 151 | mpteq2dva 4744 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) |
153 | 1, 146, 147, 149, 152 | offval2 6914 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
154 | 153 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
155 | | efcl 14813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ) |
156 | | efne0 14827 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0) |
157 | 155, 156 | jca 554 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) |
158 | 10, 157 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) |
159 | | ax-1ne0 10005 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 1 ≠
0 |
160 | 18, 159 | pm3.2i 471 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (1 ∈
ℂ ∧ 1 ≠ 0) |
161 | | divdiv2 10737 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 ∈
ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1)) |
162 | 160, 161 | mp3an2 1412 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧
((exp‘(𝐾 ·
𝑢)) ∈ ℂ ∧
(exp‘(𝐾 ·
𝑢)) ≠ 0)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1)) |
163 | 158, 162 | sylan2 491 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1)) |
164 | 10, 155 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ) |
165 | | mulcl 10020 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧
(exp‘(𝐾 ·
𝑢)) ∈ ℂ) →
(𝑥 ·
(exp‘(𝐾 ·
𝑢))) ∈
ℂ) |
166 | 164, 165 | sylan2 491 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ ℂ) |
167 | 166 | div1d 10793 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) |
168 | 163, 167 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) |
169 | 168 | ancoms 469 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) |
170 | 169 | an32s 846 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) |
171 | 170 | mpteq2dva 4744 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) |
172 | 154, 171 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) |
173 | 172 | eqeq2d 2632 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
174 | 144, 173 | sylibd 229 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
175 | 174 | reximdva 3017 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
176 | 175 | adantr 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
177 | 133, 176 | mpd 15 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) |
178 | 177 | ex 450 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
179 | 1 | adantr 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) |
180 | 4 | adantr 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝐾 ∈ ℂ) |
181 | | simprl 794 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝑥 ∈ ℂ) |
182 | | eqid 2622 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) |
183 | 179, 180,
181, 182 | expgrowthi 38532 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
184 | 183 | 3impb 1260 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
185 | | oveq2 6658 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
186 | | oveq2 6658 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
187 | 185, 186 | eqeq12d 2637 |
. . . . . 6
⊢ (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌) ↔ (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))) |
188 | 187 | 3ad2ant3 1084 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌) ↔ (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))) |
189 | 184, 188 | mpbird 247 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) |
190 | 189 | rexlimdv3a 3033 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))) |
191 | 178, 190 | impbid 202 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
192 | | oveq2 6658 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝐾 · 𝑢) = (𝐾 · 𝑡)) |
193 | 192 | fveq2d 6195 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑢 = 𝑡 → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) = (exp‘(𝐾 · 𝑡))) |
194 | 193 | oveq2d 6666 |
. . . . . 6
⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) |
195 | 194 | cbvmptv 4750 |
. . . . 5
⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) |
196 | | oveq1 6657 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))) = (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) |
197 | 196 | mpteq2dv 4745 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))) |
198 | 195, 197 | syl5eq 2668 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))) |
199 | 198 | eqeq2d 2632 |
. . 3
⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))) |
200 | 199 | cbvrexv 3172 |
. 2
⊢
(∃𝑥 ∈
ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))) |
201 | 191, 200 | syl6bb 276 |
1
⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))) |