Theorem itg2i1fseq2 23523

Description: In an extension to the results of itg2i1fseq 23522, if there is an upper bound on the integrals of the simple functions approaching 𝐹, then ∫₂𝐹 is real and the standard limit relation applies. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2i1fseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2i1fseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2i1fseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
itg2i1fseq.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2i1fseq.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
itg2i1fseq.6	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑚)))
itg2i1fseq2.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
itg2i1fseq2.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃‘𝑘)) ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
itg2i1fseq2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (∫2‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑛,𝑥,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛   𝑃,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚)

Proof of Theorem itg2i1fseq2

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 11408	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		itg2i1fseq.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
4	3	ffvelrnda 6359	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1)
5		itg1cl 23452	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ∈ ℝ)
7		itg2i1fseq.6	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑚)))
8	6, 7	fmptd 6385	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆:ℕ⟶ℝ)
9	3	ffvelrnda 6359	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) ∈ dom ∫1)
10		peano2nn 11032	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
11		ffvelrn 6357	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1)
12	3, 10, 11	syl2an 494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1)
13		itg2i1fseq.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
14		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) → (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
15	14	ralimi 2952	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
16	13, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
17		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑘))
18		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
19	18	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
20	17, 19	breq12d 4666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
21	20	rspccva 3308	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
22	16, 21	sylan 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
23		itg1le 23480	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑃‘𝑘) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1))) → (∫1‘(𝑃‘𝑘)) ≤ (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
24	9, 12, 22, 23	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃‘𝑘)) ≤ (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
25		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑃‘𝑚) = (𝑃‘𝑘))
26	25	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) = (∫1‘(𝑃‘𝑘)))
27		fvex 6201	. . . . . 6 ⊢ (∫1‘(𝑃‘𝑘)) ∈ V
28	26, 7, 27	fvmpt 6282	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑘) = (∫1‘(𝑃‘𝑘)))
29	28	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘𝑘) = (∫1‘(𝑃‘𝑘)))
30		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑃‘𝑚) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
31	30	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) = (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
32		fvex 6201	. . . . . . 7 ⊢ (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))) ∈ V
33	31, 7, 32	fvmpt 6282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
34	10, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
35	34	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
36	24, 29, 35	3brtr4d 4685	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘𝑘) ≤ (𝑆‘(𝑘 + 1)))
37		itg2i1fseq2.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
38		itg2i1fseq2.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃‘𝑘)) ≤ 𝑀)
39	29, 38	eqbrtrd 4675	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑀)
40	39	ralrimiva 2966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑀)
41		breq2 4657	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑀 → ((𝑆‘𝑘) ≤ 𝑧 ↔ (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑀))
42	41	ralbidv 2986	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑀))
43	42	rspcev 3309	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑀) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑧)
44	37, 40, 43	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑧)
45	1, 2, 8, 36, 44	climsup 14400	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
46		itg2i1fseq.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
47		itg2i1fseq.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
48		itg2i1fseq.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
49	46, 47, 3, 13, 48, 7	itg2i1fseq 23522	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) = sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
50		frn 6053	. . . . 5 ⊢ (𝑆:ℕ⟶ℝ → ran 𝑆 ⊆ ℝ)
51	8, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ ℝ)
52	7, 6	dmmptd 6024	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = ℕ)
53		1nn 11031	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
54		ne0i 3921	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℕ → ℕ ≠ ∅)
55	53, 54	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
56	52, 55	eqnetrd 2861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 ≠ ∅)
57		dm0rn0 5342	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑆 = ∅ ↔ ran 𝑆 = ∅)
58	57	necon3bii 2846	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑆 ≠ ∅ ↔ ran 𝑆 ≠ ∅)
59	56, 58	sylib 208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ≠ ∅)
60		ffn 6045	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆:ℕ⟶ℝ → 𝑆 Fn ℕ)
61		breq1 4656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑆‘𝑘) → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑧))
62	61	ralrn 6362	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 Fn ℕ → (∀𝑦 ∈ ran 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑧))
63	8, 60, 62	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑧))
64	63	rexbidv 3052	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑧))
65	44, 64	mpbird 247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧)
66		supxrre 12157	. . . 4 ⊢ ((ran 𝑆 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧) → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
67	51, 59, 65, 66	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
68	49, 67	eqtrd 2656	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
69	45, 68	breqtrrd 4681	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (∫2‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ran crn 5115   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑟 cofr 6896  supcsup 8346  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075  ℕcn 11020  [,)cico 12177   ⇝ cli 14215  MblFncmbf 23383  ∫₁citg1 23384  ∫₂citg2 23385  0_𝑝c0p 23436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  itg2i1fseq3  23524  itg2addlem  23525