Theorem fimacnv 6347

Description: The preimage of the codomain of a mapping is the mapping's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fimacnv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 5477	. . 3 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐵) ⊆ ran ◡𝐹
2		dfdm4 5316	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = ran ◡𝐹
3		fdm 6051	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
4		ssid 3624	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
5	3, 4	syl6eqss 3655	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 ⊆ 𝐴)
6	2, 5	syl5eqssr 3650	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran ◡𝐹 ⊆ 𝐴)
7	1, 6	syl5ss 3614	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) ⊆ 𝐴)
8		imassrn 5477	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ran 𝐹
9		frn 6053	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
10	8, 9	syl5ss 3614	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵)
11		ffun 6048	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → Fun 𝐹)
12	4, 3	syl5sseqr 3654	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
13		funimass3 6333	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵)))
14	11, 12, 13	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵)))
15	10, 14	mpbid 222	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵))
16	7, 15	eqssd 3620	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1483   ⊆ wss 3574  ^◡ccnv 5113  dom cdm 5114  ran crn 5115   “ cima 5117  Fun wfun 5882  ⟶wf 5884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  fimacnvinrn  6348  fmpt  6381  frnsuppeq  7307  fin1a2lem7  9228  cnclima  21072  iscncl  21073  cnindis  21096  cncmp  21195  ptrescn  21442  qtopuni  21505  qtopcld  21516  qtopcmap  21522  ordthmeolem  21604  rnelfmlem  21756  mbfdm  23395  ismbf  23397  mbfimaicc  23400  ismbf2d  23408  ismbf3d  23421  mbfimaopn2  23424  i1fd  23448  plyeq0  23967  fsumcvg4  29996  zrhunitpreima  30022  imambfm  30324  carsggect  30380  dstrvprob  30533  poimirlem30  33439  dvtan  33460  smfresal  40995