Theorem dstrvprob 30533

Description: The distribution of a random variable is a probability law. (TODO: could be shortened using dstrvval 30532) (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstrvprob.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
dstrvprob.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))

Assertion

Ref	Expression
dstrvprob	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Prob)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑎   𝑋,𝑎   𝐷,𝑎   𝜑,𝑎

Proof of Theorem dstrvprob

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstrvprob.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
2		dstrvprob.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
3	2	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → 𝑃 ∈ Prob)
4		dstrvprob.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
5	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
6		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → 𝑎 ∈ 𝔅ℝ)
7	3, 5, 6	orvcelel 30531	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) ∈ dom 𝑃)
8		prob01 30475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1))
9	3, 7, 8	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1))
10		elunitrn 29943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 10089	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ*)
12		elunitge0 29945	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))
13		elxrge0 12281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
14	11, 12, 13	sylanbrc 698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
15	9, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
16	1, 15	fmpt3d 6386	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝔅ℝ⟶(0[,]+∞))
17		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ∅) → 𝑎 = ∅)
18	17	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ∅) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋∘RV/𝑐 E ∅))
19	18	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ∅) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E ∅)))
20		brsigarn 30247	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
21		elrnsiga 30189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
22		0elsiga 30177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝔅ℝ)
23	20, 21, 22	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 𝔅ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝔅ℝ)
25	2, 4, 24	orvcelel 30531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E ∅) ∈ dom 𝑃)
26	2, 25	probvalrnd 30486	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E ∅)) ∈ ℝ)
27	1, 19, 24, 26	fvmptd 6288	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘∅) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E ∅)))
28	2, 4, 24	orvcelval 30530	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E ∅) = (◡𝑋 “ ∅))
29	28	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E ∅)) = (𝑃‘(◡𝑋 “ ∅)))
30		ima0 5481	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝑋 “ ∅) = ∅
31	30	fveq2i 6194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘(◡𝑋 “ ∅)) = (𝑃‘∅)
32		probnul 30476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∅) = 0)
33	2, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∅) = 0)
34	31, 33	syl5eq 2668	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(◡𝑋 “ ∅)) = 0)
35	27, 29, 34	3eqtrd 2660	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘∅) = 0)
36	2, 4	rrvvf 30506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
37	36	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
38		ffun 6048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ → Fun 𝑋)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → Fun 𝑋)
40		unipreima 29446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun 𝑋 → (◡𝑋 “ ∪ 𝑥) = ∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎))
41	40	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun 𝑋 → (𝑃‘(◡𝑋 “ ∪ 𝑥)) = (𝑃‘∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎)))
42	39, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑃‘(◡𝑋 “ ∪ 𝑥)) = (𝑃‘∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎)))
43	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑃 ∈ Prob)
44		domprobmeas 30472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
46		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ)
47		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑥 ≼ ω
48		nfdisj1 4633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑎Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎
49	47, 48	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)
50	46, 49	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑎((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎))
51		simplll 798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝜑)
52		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑎 ∈ 𝑥)
53		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ)
54		elelpwi 4171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) → 𝑎 ∈ 𝔅ℝ)
55	52, 53, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑎 ∈ 𝔅ℝ)
56	2, 4	rrvfinvima 30512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
57	56	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
58	51, 55, 57	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
59	58	ex 450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑎 ∈ 𝑥 → (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃))
60	50, 59	ralrimi 2957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → ∀𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
61		simprl 794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑥 ≼ ω)
62		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)
63		disjpreima 29397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → Disj 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎))
64	39, 62, 63	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → Disj 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎))
65		measvuni 30277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎))) → (𝑃‘∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎)) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
66	45, 60, 61, 64, 65	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑃‘∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎)) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
67	42, 66	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑃‘(◡𝑋 “ ∪ 𝑥)) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
68	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
69	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
70	20, 21	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
71		simplr 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ)
72		sigaclcu 30180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝔅ℝ)
73	70, 71, 61, 72	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝔅ℝ)
74	43, 68, 69, 73	dstrvval 30532	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝐷‘∪ 𝑥) = (𝑃‘(◡𝑋 “ ∪ 𝑥)))
75	1, 9	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))
76	51, 55, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))
77	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑃 ∈ Prob)
78	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
79	77, 78, 55	orvcelval 30530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (◡𝑋 “ 𝑎))
80	79	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
81	76, 80	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
82	81	ex 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑎 ∈ 𝑥 → (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎))))
83	50, 82	ralrimi 2957	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → ∀𝑎 ∈ 𝑥 (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
84	50, 83	esumeq2d 30099	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
85	67, 74, 84	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎))
86	85	ex 450	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎)))
87	86	ralrimiva 2966	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎)))
88		ismeas 30262	. . . . . 6 ⊢ (𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra → (𝐷 ∈ (measures‘𝔅ℝ) ↔ (𝐷:𝔅ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐷‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎)))))
89	20, 21, 88	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (measures‘𝔅ℝ) ↔ (𝐷:𝔅ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐷‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎))))
90	16, 35, 87, 89	syl3anbrc 1246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (measures‘𝔅ℝ))
91	1	dmeqd 5326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 = dom (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
92	15	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝔅ℝ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
93		dmmptg 5632	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝔅ℝ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞) → dom (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))) = 𝔅ℝ)
94	92, 93	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))) = 𝔅ℝ)
95	91, 94	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 = 𝔅ℝ)
96	95	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (measures‘dom 𝐷) = (measures‘𝔅ℝ))
97	90, 96	eleqtrrd 2704	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (measures‘dom 𝐷))
98		measbasedom 30265	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ∪ ran measures ↔ 𝐷 ∈ (measures‘dom 𝐷))
99	97, 98	sylibr 224	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ∪ ran measures)
100	95	unieqd 4446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝐷 = ∪ 𝔅ℝ)
101		unibrsiga 30249	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝔅ℝ = ℝ
102	100, 101	syl6eq 2672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝐷 = ℝ)
103	102	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘∪ dom 𝐷) = (𝐷‘ℝ))
104		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → 𝑎 = ℝ)
105	104	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋∘RV/𝑐 E ℝ))
106		baselsiga 30178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → ℝ ∈ 𝔅ℝ)
107	20, 106	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ 𝔅ℝ)
108	2, 4, 107	orvcelval 30530	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E ℝ) = (◡𝑋 “ ℝ))
109	108	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑋∘RV/𝑐 E ℝ) = (◡𝑋 “ ℝ))
110	105, 109	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (◡𝑋 “ ℝ))
111	110	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(◡𝑋 “ ℝ)))
112		fimacnv 6347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ → (◡𝑋 “ ℝ) = ∪ dom 𝑃)
113	36, 112	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑋 “ ℝ) = ∪ dom 𝑃)
114	113	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(◡𝑋 “ ℝ)) = (𝑃‘∪ dom 𝑃))
115		probtot 30474	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∪ dom 𝑃) = 1)
116	2, 115	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ dom 𝑃) = 1)
117	114, 116	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(◡𝑋 “ ℝ)) = 1)
118	117	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(◡𝑋 “ ℝ)) = 1)
119	111, 118	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = 1)
120		1red 10055	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
121	1, 119, 107, 120	fvmptd 6288	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘ℝ) = 1)
122	103, 121	eqtrd 2656	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘∪ dom 𝐷) = 1)
123		elprob 30471	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Prob ↔ (𝐷 ∈ ∪ ran measures ∧ (𝐷‘∪ dom 𝐷) = 1))
124	99, 122, 123	sylanbrc 698	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Prob)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158  ∪ cuni 4436  ∪ ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   E cep 5028  ^◡ccnv 5113  dom cdm 5114  ran crn 5115   “ cima 5117  Fun wfun 5882  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ωcom 7065   ≼ cdom 7953  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   ≤ cle 10075  [,]cicc 12178  Σ^*cesum 30089  sigAlgebracsiga 30170  𝔅_ℝcbrsiga 30244  measurescmeas 30258  Probcprb 30469  rRndVarcrrv 30502  ∘_RV/𝑐corvc 30517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930  df-trg 21963  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-ii 22680  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-esum 30090  df-siga 30171  df-sigagen 30202  df-brsiga 30245  df-meas 30259  df-mbfm 30313  df-prob 30470  df-rrv 30503  df-orvc 30518

This theorem is referenced by: (None)