Theorem gchcdaidm 9490

Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal sum. Part of Lemma 2.2 of [KanamoriPincus] p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchcdaidm	⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem gchcdaidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
2		cdadom3 9010	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
3	1, 1, 2	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
4		canth2g 8114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
5	4	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
6		sdomdom 7983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
8		cdadom1 9008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐴))
9		cdadom2 9009	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
10		domtr 8009	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴)) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
11	8, 9, 10	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
12	7, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
13		pwcda1 9016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
14	13	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
15		gchcda1 9478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐴)
16		pwen 8133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴)
18		entr 8008	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ∧ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
19	14, 17, 18	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
20		domentr 8015	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
21	12, 19, 20	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
22		gchinf 9479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝐴)
23		pwcdandom 9489	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
25		ensym 8005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴))
26		endom 7982	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
27	25, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
28	24, 27	nsyl 135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
29		brsdom 7978	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴 ↔ ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
30	21, 28, 29	sylanbrc 698	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)
31	3, 30	jca 554	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴))
32		gchen1 9447	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴))
33	31, 32	mpdan 702	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴))
34	33	ensymd 8007	1 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990  𝒫 cpw 4158   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ωcom 7065  1_𝑜c1o 7553   ≈ cen 7952   ≼ cdom 7953   ≺ csdm 7954  Fincfn 7955   +_𝑐 ccda 8989  GCHcgch 9442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-har 8463  df-cnf 8559  df-card 8765  df-cda 8990  df-fin4 9109  df-gch 9443

This theorem is referenced by:  gchxpidm  9491  gchpwdom  9492  gchhar  9501