Theorem hvmulcl 27870

Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 27862	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 6765	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℂcc 9934   ℋchil 27776   ·_ℎ csm 27778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-hfvmul 27862

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653

This theorem is referenced by:  hvmulcli  27871  hvsubf  27872  hvsubcl  27874  hv2neg  27885  hvaddsubval  27890  hvsub4  27894  hvaddsub12  27895  hvpncan  27896  hvaddsubass  27898  hvsubass  27901  hvsubdistr1  27906  hvsubdistr2  27907  hvaddeq0  27926  hvmulcan  27929  hvmulcan2  27930  hvsubcan  27931  his5  27943  his35  27945  hiassdi  27948  his2sub  27949  hilablo  28017  helch  28100  ocsh  28142  h1de2ci  28415  spansncol  28427  spanunsni  28438  mayete3i  28587  homcl  28605  homulcl  28618  unoplin  28779  hmoplin  28801  bramul  28805  bralnfn  28807  brafnmul  28810  kbop  28812  kbmul  28814  lnopmul  28826  lnopaddmuli  28832  lnopsubmuli  28834  lnopmulsubi  28835  0lnfn  28844  nmlnop0iALT  28854  lnopmi  28859  lnophsi  28860  lnopcoi  28862  lnopeq0i  28866  nmbdoplbi  28883  nmcexi  28885  nmcoplbi  28887  lnfnmuli  28903  lnfnaddmuli  28904  nmbdfnlbi  28908  nmcfnlbi  28911  nlelshi  28919  riesz3i  28921  cnlnadjlem2  28927  cnlnadjlem6  28931  adjlnop  28945  nmopcoi  28954  branmfn  28964  cnvbramul  28974  kbass2  28976  kbass5  28979  superpos  29213  cdj1i  29292