Theorem mayete3i 28587

Description: Mayet's equation E₃. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 1223. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mayete3.a	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mayete3.b	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mayete3.c	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
mayete3.d	⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
mayete3.f	⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
mayete3.g	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
mayete3.ac	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
mayete3.af	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayete3.cf	⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayete3.ab	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
mayete3.cd	⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
mayete3.fg	⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
mayete3.x	⊢ 𝑋 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
mayete3.y	⊢ 𝑌 = (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))
mayete3.z	⊢ 𝑍 = ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mayete3i	⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑍

Proof of Theorem mayete3i

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌))
2		mayete3.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3		mayete3.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
4	2, 3	chjcli 28316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ
5		mayete3.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
6	4, 5	chjcli 28316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∈ Cℋ
7	6	cheli 28089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) → 𝑥 ∈ ℋ)
8		mayete3.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
9	7, 8	eleq2s 2719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝑥 ∈ ℋ)
10	9	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ ℋ)
11	1, 10	sylbi 207	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ ℋ)
12		ax-hvmulid 27863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝑥) = 𝑥)
13		2cn 11091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		2ne0 11113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
15		recid2 10700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((1 / 2) · 2) = 1)
16	13, 14, 15	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) · 2) = 1
17	16	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) · 2) ·ℎ 𝑥) = (1 ·ℎ 𝑥)
18		halfcn 11247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
19		ax-hvmulass 27864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((1 / 2) · 2) ·ℎ 𝑥) = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
20	18, 13, 19	mp3an12 1414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((1 / 2) · 2) ·ℎ 𝑥) = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
21	17, 20	syl5eqr 2670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝑥) = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
22	12, 21	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
23	11, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
24		hv2times 27918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝑥) = (𝑥 +ℎ 𝑥))
25	24	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥))
26	11, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥))
27		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
28	27	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑌)
29		mayete3.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑌 = (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))
30	29	elin2 3801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 ↔ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)))
31		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)))
32		mayete3.ab	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
33		mayete3.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
34	2, 33	pjdsi 28571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)))
35	32, 34	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)))
36		mayete3.cd	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
37		mayete3.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
38	3, 37	pjdsi 28571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ∧ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)))
39	36, 38	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)))
40	35, 39	oveqan12d 6669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → (𝑥 +ℎ 𝑥) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
41	31, 40	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → (𝑥 +ℎ 𝑥) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
42		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
43	42	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
44	2, 33	chjcli 28316	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
45	44	cheli 28089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ)
46	2	pjhcli 28277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ)
47	33	pjhcli 28277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ)
48	3	pjhcli 28277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ)
49	37	pjhcli 28277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ)
50		hvadd4 27893	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ) ∧ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ)) → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
51	46, 47, 48, 49, 50	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
52	43, 45, 51	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
53	41, 52	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → (𝑥 +ℎ 𝑥) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
54		mayete3.fg	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
55		mayete3.g	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
56	5, 55	pjdsi 28571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ∧ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
57	54, 56	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
58	53, 57	oveqan12d 6669	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) → ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
59	30, 58	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 → ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
60	28, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
61		hvaddcl 27869	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ)
62	46, 48, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ)
63		hvaddcl 27869	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ)
64	47, 49, 63	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ)
65	5	pjhcli 28277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ)
66	55	pjhcli 28277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
67		hvadd4 27893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ) ∧ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)) → (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
68	62, 64, 65, 66, 67	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
69	11, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
70	26, 60, 69	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
71		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
72	71	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑋)
73	72, 8	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹))
74		mayete3.ac	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
75		mayete3.af	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
76		mayete3.cf	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
77	2, 3, 5	pjds3i 28572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)) ∧ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹) ∧ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹))) → 𝑥 = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)))
78	75, 76, 77	mpanr12 721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)) → 𝑥 = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)))
79	73, 74, 78	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)))
80	70, 79	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) −ℎ 𝑥) = ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))))
81		hvmulcl 27870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (2 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
82	13, 81	mpan 706	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
83		hvpncan 27896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) −ℎ 𝑥) = (2 ·ℎ 𝑥))
84	82, 83	mpancom 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) −ℎ 𝑥) = (2 ·ℎ 𝑥))
85	11, 84	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) −ℎ 𝑥) = (2 ·ℎ 𝑥))
86	80, 85	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))) = (2 ·ℎ 𝑥))
87		hvaddcl 27869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ)
88	62, 65, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ)
89		hvaddcl 27869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ)
90	64, 66, 89	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ)
91		hvpncan2 27897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ) → ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
92	88, 90, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
93	11, 92	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
94	86, 93	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (2 ·ℎ 𝑥) = ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
95	33	pjcli 28276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐵)
96	37	pjcli 28276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ 𝐷)
97	33	chshii 28084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
98	37	chshii 28084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 ∈ Sℋ
99	97, 98	shsvai 28223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ 𝐷) → (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
100	95, 96, 99	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
101	55	pjcli 28276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐺)
102	97, 98	shscli 28176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐷) ∈ Sℋ
103	55	chshii 28084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
104	102, 103	shsvai 28223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷) ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐺) → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
105	100, 101, 104	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
106	11, 105	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
107	94, 106	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (2 ·ℎ 𝑥) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
108	102, 103	shscli 28176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ∈ Sℋ
109		shmulcl 28075	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ∈ Sℋ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (2 ·ℎ 𝑥) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺)) → ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
110	108, 18, 109	mp3an12 1414	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ·ℎ 𝑥) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) → ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
111	107, 110	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
112	23, 111	eqeltrd 2701	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
113	112	ssriv 3607	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺)
114	33, 37	chsleji 28317	. . . . 5 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐷) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐷)
115	33, 37	chjcli 28316	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∈ Cℋ
116	115	chshii 28084	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∈ Sℋ
117	102, 116, 103	shlessi 28236	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝐷) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐷) → ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
118	114, 117	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺)
119	113, 118	sstri 3612	. . 3 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺)
120	115, 55	chsleji 28317	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)
121	119, 120	sstri 3612	. 2 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)
122		mayete3.z	. 2 ⊢ 𝑍 = ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)
123	121, 122	sseqtr4i 3638	1 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑍

Syntax hints:   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941   / cdiv 10684  2c2 11070   ℋchil 27776   +_ℎ cva 27777   ·_ℎ csm 27778   −_ℎ cmv 27782   S_ℋ csh 27785   C_ℋ cch 27786  ⊥cort 27787   +_ℋ cph 27788   ∨_ℋ chj 27790  proj_ℎcpjh 27794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942  ax-hcompl 28059

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lm 21033  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-hcau 27830  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110  df-shs 28167  df-chj 28169  df-pjh 28254

This theorem is referenced by:  mayetes3i  28588