Theorem superpos 29213

Description: Superposition Principle. If 𝐴 and 𝐵 are distinct atoms, there exists a third atom, distinct from 𝐴 and 𝐵, that is the superposition of 𝐴 and 𝐵. Definition 3.4-3(a) in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8). (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
superpos	⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem superpos

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atom1d 29212	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})))
2		atom1d 29212	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})))
3		reeanv 3107	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ∃𝑧 ∈ ℋ ((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ↔ (∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))))
4		an4 865	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ↔ ((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))))
5		neeq1 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (span‘{𝑦}) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ 𝐵))
6		neeq2 2857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{𝑦}) ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
7	5, 6	sylan9bb 736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
8	7	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
9		hvaddcl 27869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
11		hvaddeq0 27926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) = 0ℎ ↔ 𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧)))
12		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → {𝑦} = {(-1 ·ℎ 𝑧)})
13	12	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{(-1 ·ℎ 𝑧)}))
14		neg1cn 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -1 ∈ ℂ
15		neg1ne0 11126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -1 ≠ 0
16		spansncol 28427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (span‘{(-1 ·ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}))
17	14, 15, 16	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (span‘{(-1 ·ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}))
18	13, 17	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧)) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧}))
19	18	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
21	11, 20	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) = 0ℎ → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
22	21	necon3d 2815	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ≠ 0ℎ))
23	22	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ≠ 0ℎ)
24		spansna 29209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) ≠ 0ℎ) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms)
25	10, 23, 24	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms)
26	25	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms)
27	26	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms)
28		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 = (span‘{𝑦}) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐴 ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦})))
29	28	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = (span‘{𝑦}) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐴 → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦})))
30		spansneleqi 28428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦})))
31	9, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦})))
32		elspansn 28425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)))
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)))
34		addcl 10018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
35	14, 34	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑣 ∈ ℂ → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
36	35	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
37		hvmulcl 27870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
38	37	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
39	38	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
40		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℋ)
41		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℋ)
42		hvsubadd 27934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)))
43	39, 40, 41, 42	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)))
44	43	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = 𝑧)
45		hvsubval 27873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 ·ℎ 𝑦) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
46	37, 45	sylancom 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 ·ℎ 𝑦) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
47		ax-hvdistr2 27866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦) = ((𝑣 ·ℎ 𝑦) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
48	14, 47	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦) = ((𝑣 ·ℎ 𝑦) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
49	46, 48	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
50	49	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
51	50	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
53	44, 52	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → 𝑧 = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
54		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑤 ·ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
55	54	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦) ↔ 𝑧 = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦)))
56	55	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑣 + -1) ∈ ℂ ∧ 𝑧 = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦))
57	36, 53, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦))
58	57	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑣 ∈ ℂ → ((𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦))))
59	58	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
60	33, 59	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
61	31, 60	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
62		elspansn 28425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
64	61, 63	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → 𝑧 ∈ (span‘{𝑦})))
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → 𝑧 ∈ (span‘{𝑦})))
66		spansneleq 28429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝑦})))
67		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((span‘{𝑧}) = (span‘{𝑦}) ↔ (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧}))
68	66, 67	syl6ib 241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
69	68	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
70	65, 69	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
71	29, 70	sylan9r 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐴 → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
72	71	necon3d 2815	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴))
73	72	adantlrl 756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴))
74	73	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴))
75	74	imp 445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴)
76		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐵 ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧})))
77	76	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐵 → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧})))
78		spansneleqi 28428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧})))
79	9, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧})))
80		elspansn 28425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
82	35	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
83		hvmulcl 27870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
84	83	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
85	84	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
86		hvsubadd 27934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑦) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
87	85, 41, 40, 86	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑦) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
88		ax-hvcom 27858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑦))
89	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑦))
90	89	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧) ↔ (𝑧 +ℎ 𝑦) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
91	87, 90	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
92	91	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = 𝑦)
93		hvsubval 27873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 ·ℎ 𝑧) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
94	83, 93	sylancom 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 ·ℎ 𝑧) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
95		ax-hvdistr2 27866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧) = ((𝑣 ·ℎ 𝑧) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
96	14, 95	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧) = ((𝑣 ·ℎ 𝑧) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
97	94, 96	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
98	97	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
99	98	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
101	92, 100	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → 𝑦 = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
102		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑤 ·ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
103	102	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧) ↔ 𝑦 = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧)))
104	103	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑣 + -1) ∈ ℂ ∧ 𝑦 = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧))
105	82, 101, 104	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧))
106	105	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑣 ∈ ℂ → ((𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧))))
107	106	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
108	81, 107	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
109	79, 108	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
110		elspansn 28425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
111	110	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
112	109, 111	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑧})))
113	112	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑧})))
114		spansneleq 28429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
115	114	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
116	113, 115	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
117	77, 116	sylan9r 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐵 → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
118	117	necon3d 2815	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵))
119	118	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵))
120	119	adantrl 752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵))
121	120	imp 445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵)
122		spanpr 28439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (span‘{𝑦, 𝑧}))
123	122	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (span‘{𝑦, 𝑧}))
124		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ (span‘{𝑧})))
125		df-pr 4180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑦, 𝑧} = ({𝑦} ∪ {𝑧})
126	125	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (span‘{𝑦, 𝑧}) = (span‘({𝑦} ∪ {𝑧}))
127		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → {𝑦} ⊆ ℋ)
128		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → {𝑧} ⊆ ℋ)
129		spanun 28404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({𝑦} ⊆ ℋ ∧ {𝑧} ⊆ ℋ) → (span‘({𝑦} ∪ {𝑧})) = ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})))
130	127, 128, 129	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘({𝑦} ∪ {𝑧})) = ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})))
131	126, 130	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘{𝑦, 𝑧}) = ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})))
132		spansnch 28419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ Cℋ )
133		spansnj 28506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((span‘{𝑦}) ∈ Cℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ (span‘{𝑧})))
134	132, 133	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ (span‘{𝑧})))
135	131, 134	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) ∨ℋ (span‘{𝑧})) = (span‘{𝑦, 𝑧}))
136	124, 135	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (span‘{𝑦, 𝑧}))
137	123, 136	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
138	137	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
139	138	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
140		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) → (𝑥 ≠ 𝐴 ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴))
141		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) → (𝑥 ≠ 𝐵 ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵))
142		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
143	140, 141, 142	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) → ((𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴 ∧ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵 ∧ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
144	143	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms ∧ ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴 ∧ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵 ∧ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
145	27, 75, 121, 139, 144	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
146	145	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
147	8, 146	sylbid 230	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
148	147	expl 648	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
149	4, 148	syl5bi 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
150	149	rexlimivv 3036	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ∃𝑧 ∈ ℋ ((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
151	3, 150	sylbir 225	. . 3 ⊢ ((∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
152	1, 2, 151	syl2anb 496	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
153	152	3impia 1261	1 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913   ∪ cun 3572   ⊆ wss 3574  {csn 4177  {cpr 4179  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939  -cneg 10267   ℋchil 27776   +_ℎ cva 27777   ·_ℎ csm 27778  0_ℎc0v 27781   −_ℎ cmv 27782   C_ℋ cch 27786   +_ℋ cph 27788  spancspn 27789   ∨_ℋ chj 27790  HAtomscat 27822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942  ax-hcompl 28059

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lm 21033  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-hcau 27830  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110  df-shs 28167  df-span 28168  df-chj 28169  df-pjh 28254  df-cv 29138  df-at 29197

This theorem is referenced by:  chirredi  29253