Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | isbndx 33581 |
. . 3
⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) |
2 | 1 | anbi1i 731 |
. 2
⊢ ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) |
3 | | anass 681 |
. 2
⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑋 ≠ ∅))) |
4 | | r19.2z 4060 |
. . . . 5
⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧
∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) |
5 | 4 | ancoms 469 |
. . . 4
⊢
((∀𝑥 ∈
𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) |
6 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟)) |
7 | 6 | eqeq2d 2632 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ↔ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) |
8 | | oveq2 6658 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) |
9 | 8 | eqeq2d 2632 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠))) |
10 | 7, 9 | cbvrex2v 3180 |
. . . . . 6
⊢
(∃𝑥 ∈
𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) |
11 | | 2rp 11837 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 2 ∈
ℝ+ |
12 | | rpmulcl 11855 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((2
∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (2
· 𝑠) ∈
ℝ+) |
13 | 11, 12 | mpan 706 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑠 ∈ ℝ+
→ (2 · 𝑠)
∈ ℝ+) |
14 | 13 | ad2antll 765 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → (2
· 𝑠) ∈
ℝ+) |
15 | 14 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → (2 · 𝑠) ∈
ℝ+) |
16 | | rpcn 11841 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑠 ∈ ℝ+
→ 𝑠 ∈
ℂ) |
17 | | 2cnd 11093 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑠 ∈ ℝ+
→ 2 ∈ ℂ) |
18 | | 2ne0 11113 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 2 ≠
0 |
19 | 18 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑠 ∈ ℝ+
→ 2 ≠ 0) |
20 | | divcan3 10711 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 2 ∈
ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝑠) / 2) = 𝑠) |
21 | 20 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 2 ∈
ℂ ∧ 2 ≠ 0) → 𝑠 = ((2 · 𝑠) / 2)) |
22 | 16, 17, 19, 21 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑠 ∈ ℝ+
→ 𝑠 = ((2 ·
𝑠) / 2)) |
23 | 22 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑠 ∈ ℝ+
→ (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) |
24 | 23 | eqeq2d 2632 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑠 ∈ ℝ+
→ (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) ↔ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))) |
25 | 24 | biimpd 219 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑠 ∈ ℝ+
→ (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))) |
26 | 25 | ad2antll 765 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))) |
27 | 26 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))) |
28 | 27 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) |
29 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) |
30 | | eleq2 2690 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))) |
31 | 30 | biimpac 503 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) → 𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) |
32 | | 2re 11090 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ 2 ∈
ℝ |
33 | | rpre 11839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑠 ∈ ℝ+
→ 𝑠 ∈
ℝ) |
34 | | remulcl 10021 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ 𝑠
∈ ℝ) → (2 · 𝑠) ∈ ℝ) |
35 | 32, 33, 34 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑠 ∈ ℝ+
→ (2 · 𝑠)
∈ ℝ) |
36 | | blhalf 22210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ ((2 · 𝑠) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠))) |
37 | 36 | expr 643 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))) |
38 | 35, 37 | sylan2 491 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))) |
39 | 38 | anasss 679 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))) |
40 | 39 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠))) |
41 | 31, 40 | sylan2 491 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠))) |
42 | 41 | anassrs 680 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠))) |
43 | 29, 42 | eqsstrd 3639 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) → 𝑋 ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠))) |
44 | 28, 43 | syldan 487 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → 𝑋 ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠))) |
45 | 13 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (2
· 𝑠) ∈
ℝ+) |
46 | | rpxr 11840 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((2
· 𝑠) ∈
ℝ+ → (2 · 𝑠) ∈
ℝ*) |
47 | | blssm 22223 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋) |
48 | 46, 47 | syl3an3 1361 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋) |
49 | 48 | 3expa 1265 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋) |
50 | 45, 49 | sylan2 491 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋) |
51 | 50 | an32s 846 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋) |
52 | 51 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋) |
53 | 44, 52 | eqssd 3620 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠))) |
54 | | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑟 = (2 · 𝑠) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) = (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠))) |
55 | 54 | eqeq2d 2632 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑟 = (2 · 𝑠) → (𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ↔ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))) |
56 | 55 | rspcev 3309 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((2
· 𝑠) ∈
ℝ+ ∧ 𝑋
= (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) |
57 | 15, 53, 56 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) |
58 | 57 | ex 450 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) |
59 | 58 | ralrimdva 2969 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) |
60 | 59 | rexlimdvva 3038 |
. . . . . 6
⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) |
61 | 10, 60 | syl5bi 232 |
. . . . 5
⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) |
62 | | rexn0 4074 |
. . . . . 6
⊢
(∃𝑥 ∈
𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → 𝑋 ≠ ∅) |
63 | 62 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → 𝑋 ≠ ∅)) |
64 | 61, 63 | jcad 555 |
. . . 4
⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑋 ≠ ∅))) |
65 | 5, 64 | impbid2 216 |
. . 3
⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) |
66 | 65 | pm5.32i 669 |
. 2
⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) |
67 | 2, 3, 66 | 3bitri 286 |
1
⊢ ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) |