Theorem lemul12a 10881

Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lemul12a	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem lemul12a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 790	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
2		simpll 790	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
3	2	ad2antlr 763	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		simplrr 801	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
5		0re 10040	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		letr 10131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷))
7	5, 6	mp3an1 1411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷))
8	7	exp4b 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐷 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐶 → (𝐶 ≤ 𝐷 → 0 ≤ 𝐷))))
9	8	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐶 → (𝐷 ∈ ℝ → (𝐶 ≤ 𝐷 → 0 ≤ 𝐷))))
10	9	imp41 619	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷)
11	10	ad2ant2l 782	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 0 ≤ 𝐷)
12	4, 11	jca 554	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))
13	1, 3, 12	jca32 558	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))))
14		simpr 477	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))
15		lemul12b 10880	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
16	13, 14, 15	sylc 65	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷))
17	16	ex 450	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936   · cmul 9941   ≤ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  lemulge11  10885  lediv12a  10916  lemul12ad  10966  expge1  12897  leexp1a  12919  faclbnd4lem1  13080  faclbnd6  13086  o1rlimmul  14349  mertenslem1  14616  iimulcl  22736  aaliou3lem2  24098  logfacubnd  24946  lgslem3  25024  dchrisum0flblem2  25198  pntlemr  25291  pellqrex  37443