Proof of Theorem pntlemr
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | pntlem1.r |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦
((ψ‘𝑎) −
𝑎)) |
2 | | pntlem1.a |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈
ℝ+) |
3 | | pntlem1.b |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
ℝ+) |
4 | | pntlem1.l |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1)) |
5 | | pntlem1.d |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1) |
6 | | pntlem1.f |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2))) |
7 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | pntlemd 25283 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+
∧ 𝐹 ∈
ℝ+)) |
8 | 7 | simp1d 1073 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈
ℝ+) |
9 | | pntlem1.u |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈
ℝ+) |
10 | | pntlem1.u2 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴) |
11 | | pntlem1.e |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷) |
12 | | pntlem1.k |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸)) |
13 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12 | pntlemc 25284 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+
∧ (𝐸 ∈ (0(,)1)
∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈
ℝ+))) |
14 | 13 | simp1d 1073 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈
ℝ+) |
15 | 8, 14 | rpmulcld 11888 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈
ℝ+) |
16 | | 4re 11097 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 4 ∈
ℝ |
17 | | 4pos 11116 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 0 <
4 |
18 | 16, 17 | elrpii 11835 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 4 ∈
ℝ+ |
19 | | rpdivcl 11856 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈
ℝ+) → ((𝐿 · 𝐸) / 4) ∈
ℝ+) |
20 | 15, 18, 19 | sylancl 694 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 4) ∈
ℝ+) |
21 | 20 | rpred 11872 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 4) ∈ ℝ) |
22 | | pntlem1.y |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤
𝑌)) |
23 | | pntlem1.x |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋)) |
24 | | pntlem1.c |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈
ℝ+) |
25 | | pntlem1.w |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))))) |
26 | | pntlem1.z |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞)) |
27 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 22, 23, 24, 25, 26 | pntlemb 25286 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 <
𝑍 ∧ e ≤
(√‘𝑍) ∧
(√‘𝑍) ≤
(𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈 − 𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (;32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))))) |
28 | 27 | simp1d 1073 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈
ℝ+) |
29 | | pntlem1.v |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈
ℝ+) |
30 | 28, 29 | rpdivcld 11889 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈
ℝ+) |
31 | 30 | rpred 11872 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ) |
32 | 21, 31 | remulcld 10070 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ) |
33 | | pntlem1.i |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) |
34 | | fzfid 12772 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ∈ Fin) |
35 | 33, 34 | syl5eqel 2705 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin) |
36 | | hashcl 13147 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐼 ∈ Fin →
(#‘𝐼) ∈
ℕ0) |
37 | 35, 36 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (#‘𝐼) ∈
ℕ0) |
38 | 37 | nn0red 11352 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (#‘𝐼) ∈ ℝ) |
39 | 32 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℂ) |
40 | | 1rp 11836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 1 ∈
ℝ+ |
41 | | rpaddcl 11854 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((1
∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (1 +
(𝐿 · 𝐸)) ∈
ℝ+) |
42 | 40, 15, 41 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈
ℝ+) |
43 | 42, 29 | rpmulcld 11888 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈
ℝ+) |
44 | 28, 43 | rpdivcld 11889 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈
ℝ+) |
45 | 44 | rpred 11872 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ) |
46 | | reflcl 12597 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ →
(⌊‘(𝑍 / ((1 +
(𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℝ) |
47 | 45, 46 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℝ) |
48 | 47 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℂ) |
49 | | 1cnd 10056 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℂ) |
50 | 39, 48, 49 | add32d 10263 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) + 1) = (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))) |
51 | | peano2re 10209 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) ∈ ℝ) |
52 | 32, 51 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) ∈ ℝ) |
53 | 52, 47 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) ∈ ℝ) |
54 | | reflcl 12597 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ →
(⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈
ℝ) |
55 | 31, 54 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ) |
56 | | peano2re 10209 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((⌊‘(𝑍 /
𝑉)) ∈ ℝ →
((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1) ∈
ℝ) |
57 | 55, 56 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1) ∈ ℝ) |
58 | 15 | rphalfcld 11884 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 2) ∈
ℝ+) |
59 | 58, 30 | rpmulcld 11888 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) ∈
ℝ+) |
60 | 59 | rpred 11872 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ) |
61 | 60, 45 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) + (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℝ) |
62 | | rpdivcl 11856 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((4
∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (4 /
(𝐿 · 𝐸)) ∈
ℝ+) |
63 | 18, 15, 62 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈
ℝ+) |
64 | 63 | rpred 11872 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ) |
65 | 28 | rpsqrtcld 14150 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (√‘𝑍) ∈
ℝ+) |
66 | 65 | rpred 11872 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (√‘𝑍) ∈
ℝ) |
67 | 27 | simp3d 1075 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈 − 𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (;32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))) |
68 | 67 | simp1d 1073 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍)) |
69 | 43 | rpred 11872 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ) |
70 | 13 | simp2d 1074 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈
ℝ+) |
71 | | pntlem1.j |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) |
72 | | elfzoelz 12470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ) |
73 | 71, 72 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ) |
74 | 73 | peano2zd 11485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ) |
75 | 70, 74 | rpexpcld 13032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈
ℝ+) |
76 | 75 | rpred 11872 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ) |
77 | | pntlem1.V |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝜑 → (((𝐾↑𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)) |
78 | 77 | simpld 475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → ((𝐾↑𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽)))) |
79 | 78 | simprd 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) |
80 | 70 | rpcnd 11874 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ) |
81 | 70, 73 | rpexpcld 13032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝐽) ∈
ℝ+) |
82 | 81 | rpcnd 11874 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝐽) ∈ ℂ) |
83 | 80, 82 | mulcomd 10061 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → (𝐾 · (𝐾↑𝐽)) = ((𝐾↑𝐽) · 𝐾)) |
84 | | pntlem1.m |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ 𝑀 =
((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1) |
85 | | pntlem1.n |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ 𝑁 =
(⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)) |
86 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 22, 23, 24, 25, 26, 84, 85 | pntlemg 25287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁 − 𝑀))) |
87 | 86 | simp1d 1073 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ) |
88 | | elfzouz 12474 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
89 | 71, 88 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
90 | | eluznn 11758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈
(ℤ≥‘𝑀)) → 𝐽 ∈ ℕ) |
91 | 87, 89, 90 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ) |
92 | 91 | nnnn0d 11351 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈
ℕ0) |
93 | 80, 92 | expp1d 13009 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) = ((𝐾↑𝐽) · 𝐾)) |
94 | 83, 93 | eqtr4d 2659 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → (𝐾 · (𝐾↑𝐽)) = (𝐾↑(𝐽 + 1))) |
95 | 79, 94 | breqtrd 4679 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾↑(𝐽 + 1))) |
96 | 69, 76, 95 | ltled 10185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (𝐾↑(𝐽 + 1))) |
97 | | fzofzp1 12565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) |
98 | 71, 97 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) |
99 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 22, 23, 24, 25, 26, 84, 85 | pntlemh 25288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∧ (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍))) |
100 | 98, 99 | mpdan 702 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → (𝑋 < (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∧ (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍))) |
101 | 100 | simprd 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍)) |
102 | 69, 76, 66, 96, 101 | letrd 10194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (√‘𝑍)) |
103 | 69, 66, 65 | lemul2d 11916 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)))) |
104 | 102, 103 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((√‘𝑍) · (√‘𝑍))) |
105 | 28 | rprege0d 11879 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍)) |
106 | | remsqsqrt 13997 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝑍) →
((√‘𝑍) ·
(√‘𝑍)) = 𝑍) |
107 | 105, 106 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍) |
108 | 104, 107 | breqtrd 4679 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑍) |
109 | 28 | rpred 11872 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ) |
110 | 66, 109, 43 | lemuldivd 11921 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑍 ↔ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) |
111 | 108, 110 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) |
112 | 29 | rpcnd 11874 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ) |
113 | 112 | mulid2d 10058 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → (1 · 𝑉) = 𝑉) |
114 | | 1red 10055 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
115 | 42 | rpred 11872 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ) |
116 | | 1re 10039 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ 1 ∈
ℝ |
117 | | ltaddrp 11867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ (𝐿
· 𝐸) ∈
ℝ+) → 1 < (1 + (𝐿 · 𝐸))) |
118 | 116, 15, 117 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → 1 < (1 + (𝐿 · 𝐸))) |
119 | 114, 115,
29, 118 | ltmul1dd 11927 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → (1 · 𝑉) < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) |
120 | 113, 119 | eqbrtrrd 4677 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → 𝑉 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) |
121 | 29, 43, 28 | ltdiv2d 11895 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (𝑉 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ↔ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) < (𝑍 / 𝑉))) |
122 | 120, 121 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) < (𝑍 / 𝑉)) |
123 | 45, 31, 122 | ltled 10185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ (𝑍 / 𝑉)) |
124 | 66, 45, 31, 111, 123 | letrd 10194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑉)) |
125 | 64, 66, 31, 68, 124 | letrd 10194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (𝑍 / 𝑉)) |
126 | 64, 31, 31, 125 | leadd2dd 10642 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ≤ ((𝑍 / 𝑉) + (𝑍 / 𝑉))) |
127 | 30 | rpcnd 11874 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℂ) |
128 | 127 | 2timesd 11275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑍 / 𝑉)) = ((𝑍 / 𝑉) + (𝑍 / 𝑉))) |
129 | 126, 128 | breqtrrd 4681 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ≤ (2 · (𝑍 / 𝑉))) |
130 | 31, 64 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ) |
131 | | 2re 11090 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 2 ∈
ℝ |
132 | | remulcl 10021 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ (𝑍 /
𝑉) ∈ ℝ) →
(2 · (𝑍 / 𝑉)) ∈
ℝ) |
133 | 131, 31, 132 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ) |
134 | 130, 133,
20 | lemul2d 11916 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ≤ (2 · (𝑍 / 𝑉)) ↔ (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸)))) ≤ (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (2 · (𝑍 / 𝑉))))) |
135 | 129, 134 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸)))) ≤ (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (2 · (𝑍 / 𝑉)))) |
136 | 20 | rpcnd 11874 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 4) ∈ ℂ) |
137 | 63 | rpcnd 11874 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℂ) |
138 | 136, 127,
137 | adddid 10064 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸)))) = ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (4 / (𝐿 · 𝐸))))) |
139 | 15 | rpcnne0d 11881 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝐿 · 𝐸) ≠ 0)) |
140 | | rpcnne0 11850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (4 ∈
ℝ+ → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) |
141 | 18, 140 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (4 ∈ ℂ ∧ 4
≠ 0)) |
142 | | divcan6 10732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝐿 · 𝐸) ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4
≠ 0)) → (((𝐿
· 𝐸) / 4) ·
(4 / (𝐿 · 𝐸))) = 1) |
143 | 139, 141,
142 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (4 / (𝐿 · 𝐸))) = 1) |
144 | 143 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (4 / (𝐿 · 𝐸)))) = ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1)) |
145 | 138, 144 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸)))) = ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1)) |
146 | | 2cnd 11093 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℂ) |
147 | 136, 146,
127 | mulassd 10063 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · 2) · (𝑍 / 𝑉)) = (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (2 · (𝑍 / 𝑉)))) |
148 | 15 | rpcnd 11874 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ) |
149 | | 2rp 11837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 2 ∈
ℝ+ |
150 | | rpcnne0 11850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (2 ∈
ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) |
151 | 149, 150 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℂ ∧ 2
≠ 0)) |
152 | | divdiv1 10736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ
∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝐿 · 𝐸) / 2) / 2) = ((𝐿 · 𝐸) / (2 · 2))) |
153 | 148, 151,
151, 152 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 2) / 2) = ((𝐿 · 𝐸) / (2 · 2))) |
154 | | 2t2e4 11177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (2
· 2) = 4 |
155 | 154 | oveq2i 6661 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐿 · 𝐸) / (2 · 2)) = ((𝐿 · 𝐸) / 4) |
156 | 153, 155 | syl6req 2673 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 4) = (((𝐿 · 𝐸) / 2) / 2)) |
157 | 156 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · 2) = ((((𝐿 · 𝐸) / 2) / 2) · 2)) |
158 | 148 | halfcld 11277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 2) ∈ ℂ) |
159 | 151 | simprd 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0) |
160 | 158, 146,
159 | divcan1d 10802 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) / 2) · 2) = ((𝐿 · 𝐸) / 2)) |
161 | 157, 160 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · 2) = ((𝐿 · 𝐸) / 2)) |
162 | 161 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · 2) · (𝑍 / 𝑉)) = (((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉))) |
163 | 147, 162 | eqtr3d 2658 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (2 · (𝑍 / 𝑉))) = (((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉))) |
164 | 135, 145,
163 | 3brtr3d 4684 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) ≤ (((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉))) |
165 | | flle 12600 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ →
(⌊‘(𝑍 / ((1 +
(𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) |
166 | 45, 165 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) |
167 | 52, 47, 60, 45, 164, 166 | le2addd 10646 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) ≤ ((((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) + (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) |
168 | 58 | rpred 11872 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 2) ∈ ℝ) |
169 | 42 | rprecred 11883 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ) |
170 | 168, 169 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 2) + (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))) ∈ ℝ) |
171 | 15 | rpred 11872 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ) |
172 | 14 | rpred 11872 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ) |
173 | 8 | rpred 11872 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ) |
174 | | eliooord 12233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝐿 ∈ (0(,)1) → (0 <
𝐿 ∧ 𝐿 < 1)) |
175 | 4, 174 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → (0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1)) |
176 | 175 | simprd 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → 𝐿 < 1) |
177 | 173, 114,
14, 176 | ltmul1dd 11927 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < (1 · 𝐸)) |
178 | 14 | rpcnd 11874 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ) |
179 | 178 | mulid2d 10058 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (1 · 𝐸) = 𝐸) |
180 | 177, 179 | breqtrd 4679 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < 𝐸) |
181 | 13 | simp3d 1075 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈
ℝ+)) |
182 | 181 | simp1d 1073 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1)) |
183 | | eliooord 12233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 <
𝐸 ∧ 𝐸 < 1)) |
184 | 182, 183 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1)) |
185 | 184 | simprd 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐸 < 1) |
186 | 171, 172,
114, 180, 185 | lttrd 10198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < 1) |
187 | 171, 114,
114, 186 | ltadd2dd 10196 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) < (1 + 1)) |
188 | | df-2 11079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ 2 = (1 +
1) |
189 | 187, 188 | syl6breqr 4695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) < 2) |
190 | 42 | rpregt0d 11878 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + (𝐿 · 𝐸)))) |
191 | 131 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℝ) |
192 | | 2pos 11112 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 0 <
2 |
193 | 192 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 0 < 2) |
194 | 15 | rpregt0d 11878 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿 · 𝐸))) |
195 | | ltdiv2 10909 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((1 +
(𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ ∧ 0 <
(1 + (𝐿 · 𝐸))) ∧ (2 ∈ ℝ
∧ 0 < 2) ∧ ((𝐿
· 𝐸) ∈ ℝ
∧ 0 < (𝐿 ·
𝐸))) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) < 2 ↔ ((𝐿 · 𝐸) / 2) < ((𝐿 · 𝐸) / (1 + (𝐿 · 𝐸))))) |
196 | 190, 191,
193, 194, 195 | syl121anc 1331 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) < 2 ↔ ((𝐿 · 𝐸) / 2) < ((𝐿 · 𝐸) / (1 + (𝐿 · 𝐸))))) |
197 | 189, 196 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 2) < ((𝐿 · 𝐸) / (1 + (𝐿 · 𝐸)))) |
198 | 42 | rpcnd 11874 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℂ) |
199 | 42 | rpcnne0d 11881 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≠ 0)) |
200 | | divsubdir 10721 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((1 +
(𝐿 · 𝐸)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ ∧ ((1 + (𝐿
· 𝐸)) ∈ ℂ
∧ (1 + (𝐿 ·
𝐸)) ≠ 0)) → (((1 +
(𝐿 · 𝐸)) − 1) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = (((1 + (𝐿 · 𝐸)) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) − (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))))) |
201 | 198, 49, 199, 200 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) − 1) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = (((1 + (𝐿 · 𝐸)) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) − (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))))) |
202 | | ax-1cn 9994 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 1 ∈
ℂ |
203 | | pncan2 10288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (𝐿
· 𝐸) ∈ ℂ)
→ ((1 + (𝐿 ·
𝐸)) − 1) = (𝐿 · 𝐸)) |
204 | 202, 148,
203 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) − 1) = (𝐿 · 𝐸)) |
205 | 204 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) − 1) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = ((𝐿 · 𝐸) / (1 + (𝐿 · 𝐸)))) |
206 | | divid 10714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((1 +
(𝐿 · 𝐸)) ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐿 · 𝐸)) ≠ 0) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = 1) |
207 | 199, 206 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = 1) |
208 | 207 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) − (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))) = (1 − (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))))) |
209 | 201, 205,
208 | 3eqtr3d 2664 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = (1 − (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))))) |
210 | 197, 209 | breqtrd 4679 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 2) < (1 − (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))))) |
211 | 168, 169,
114 | ltaddsubd 10627 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) + (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))) < 1 ↔ ((𝐿 · 𝐸) / 2) < (1 − (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))))) |
212 | 210, 211 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 2) + (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))) < 1) |
213 | 170, 114,
30, 212 | ltmul1dd 11927 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) + (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))) · (𝑍 / 𝑉)) < (1 · (𝑍 / 𝑉))) |
214 | | reccl 10692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((1 +
(𝐿 · 𝐸)) ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐿 · 𝐸)) ≠ 0) → (1 / (1 +
(𝐿 · 𝐸))) ∈
ℂ) |
215 | 199, 214 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℂ) |
216 | 158, 215,
127 | adddird 10065 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) + (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))) · (𝑍 / 𝑉)) = ((((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) + ((1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))) · (𝑍 / 𝑉)))) |
217 | 198, 112 | mulcomd 10061 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) = (𝑉 · (1 + (𝐿 · 𝐸)))) |
218 | 217 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) = (𝑍 / (𝑉 · (1 + (𝐿 · 𝐸))))) |
219 | 28 | rpcnd 11874 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℂ) |
220 | 29 | rpcnne0d 11881 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ≠ 0)) |
221 | | divdiv1 10736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ (𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ≠ 0) ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≠ 0)) → ((𝑍 / 𝑉) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = (𝑍 / (𝑉 · (1 + (𝐿 · 𝐸))))) |
222 | 219, 220,
199, 221 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = (𝑍 / (𝑉 · (1 + (𝐿 · 𝐸))))) |
223 | 42 | rpne0d 11877 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≠ 0) |
224 | 127, 198,
223 | divrec2d 10805 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = ((1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))) · (𝑍 / 𝑉))) |
225 | 218, 222,
224 | 3eqtr2d 2662 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) = ((1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))) · (𝑍 / 𝑉))) |
226 | 225 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) + (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) = ((((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) + ((1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))) · (𝑍 / 𝑉)))) |
227 | 216, 226 | eqtr4d 2659 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) + (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))) · (𝑍 / 𝑉)) = ((((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) + (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) |
228 | 127 | mulid2d 10058 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (1 · (𝑍 / 𝑉)) = (𝑍 / 𝑉)) |
229 | 213, 227,
228 | 3brtr3d 4684 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) + (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) < (𝑍 / 𝑉)) |
230 | 53, 61, 31, 167, 229 | lelttrd 10195 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) < (𝑍 / 𝑉)) |
231 | | fllep1 12602 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ → (𝑍 / 𝑉) ≤ ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1)) |
232 | 31, 231 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ≤ ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1)) |
233 | 53, 31, 57, 230, 232 | ltletrd 10197 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) < ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1)) |
234 | 50, 233 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) + 1) < ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1)) |
235 | 32, 47 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) ∈ ℝ) |
236 | 235, 55, 114 | ltadd1d 10620 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) < (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ↔ (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) + 1) < ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1))) |
237 | 234, 236 | mpbird 247 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) < (⌊‘(𝑍 / 𝑉))) |
238 | 32, 47, 55 | ltaddsubd 10627 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) < (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ↔ (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) < ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) − (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))))) |
239 | 237, 238 | mpbid 222 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) < ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) − (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))) |
240 | 31 | flcld 12599 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℤ) |
241 | | fzval3 12536 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((⌊‘(𝑍 /
𝑉)) ∈ ℤ →
(((⌊‘(𝑍 / ((1 +
(𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)..^((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1))) |
242 | 240, 241 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)..^((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1))) |
243 | 33, 242 | syl5eq 2668 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)..^((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1))) |
244 | 243 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (#‘𝐼) = (#‘(((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)..^((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1)))) |
245 | | flword2 12614 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ (𝑍 / 𝑉)) → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈
(ℤ≥‘(⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))) |
246 | 45, 31, 123, 245 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈
(ℤ≥‘(⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))) |
247 | | eluzp1p1 11713 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((⌊‘(𝑍 /
𝑉)) ∈
(ℤ≥‘(⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) → ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1) ∈
(ℤ≥‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1))) |
248 | 246, 247 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1) ∈
(ℤ≥‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1))) |
249 | | hashfzo 13216 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((⌊‘(𝑍
/ 𝑉)) + 1) ∈
(ℤ≥‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)) →
(#‘(((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)..^((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1))) = (((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1) − ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1))) |
250 | 248, 249 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 →
(#‘(((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)..^((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1))) = (((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1) − ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1))) |
251 | 55 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℂ) |
252 | 251, 48, 49 | pnpcan2d 10430 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1) − ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)) = ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) − (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))) |
253 | 244, 250,
252 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (#‘𝐼) = ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) − (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))) |
254 | 239, 253 | breqtrrd 4681 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) < (#‘𝐼)) |
255 | 32, 38, 254 | ltled 10185 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) ≤ (#‘𝐼)) |
256 | 21, 38, 30 | lemuldivd 11921 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) ≤ (#‘𝐼) ↔ ((𝐿 · 𝐸) / 4) ≤ ((#‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)))) |
257 | 255, 256 | mpbid 222 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 4) ≤ ((#‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉))) |
258 | 29 | rpred 11872 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ) |
259 | 69, 76, 66, 95, 101 | ltletrd 10197 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (√‘𝑍)) |
260 | 258, 69, 66, 120, 259 | lttrd 10198 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑉 < (√‘𝑍)) |
261 | 258, 66, 260 | ltled 10185 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑉 ≤ (√‘𝑍)) |
262 | 29 | rprege0d 11879 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑉)) |
263 | 65 | rprege0d 11879 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
(√‘𝑍))) |
264 | | le2sq 12938 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝑉) ∧
((√‘𝑍) ∈
ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍))) → (𝑉 ≤ (√‘𝑍) ↔ (𝑉↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2))) |
265 | 262, 263,
264 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑉 ≤ (√‘𝑍) ↔ (𝑉↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2))) |
266 | 261, 265 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑉↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)) |
267 | | resqrtth 13996 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝑍) →
((√‘𝑍)↑2)
= 𝑍) |
268 | 105, 267 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍) |
269 | 266, 268 | breqtrd 4679 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑉↑2) ≤ 𝑍) |
270 | | 2z 11409 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 2 ∈
ℤ |
271 | | rpexpcl 12879 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑉 ∈ ℝ+
∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑉↑2) ∈
ℝ+) |
272 | 29, 270, 271 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑉↑2) ∈
ℝ+) |
273 | 272 | rpred 11872 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑉↑2) ∈ ℝ) |
274 | 273, 109,
28 | lemul2d 11916 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝑉↑2) ≤ 𝑍 ↔ (𝑍 · (𝑉↑2)) ≤ (𝑍 · 𝑍))) |
275 | 269, 274 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑍 · (𝑉↑2)) ≤ (𝑍 · 𝑍)) |
276 | 219 | sqvald 13005 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑍↑2) = (𝑍 · 𝑍)) |
277 | 275, 276 | breqtrrd 4681 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑍 · (𝑉↑2)) ≤ (𝑍↑2)) |
278 | 109 | resqcld 13035 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑍↑2) ∈ ℝ) |
279 | 109, 278,
272 | lemuldivd 11921 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑍 · (𝑉↑2)) ≤ (𝑍↑2) ↔ 𝑍 ≤ ((𝑍↑2) / (𝑉↑2)))) |
280 | 277, 279 | mpbid 222 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑍 ≤ ((𝑍↑2) / (𝑉↑2))) |
281 | 29 | rpne0d 11877 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 0) |
282 | 219, 112,
281 | sqdivd 13021 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉)↑2) = ((𝑍↑2) / (𝑉↑2))) |
283 | 280, 282 | breqtrrd 4681 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑍 ≤ ((𝑍 / 𝑉)↑2)) |
284 | | rpexpcl 12879 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈
ℤ) → ((𝑍 / 𝑉)↑2) ∈
ℝ+) |
285 | 30, 270, 284 | sylancl 694 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉)↑2) ∈
ℝ+) |
286 | 28, 285 | logled 24373 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑍 ≤ ((𝑍 / 𝑉)↑2) ↔ (log‘𝑍) ≤ (log‘((𝑍 / 𝑉)↑2)))) |
287 | 283, 286 | mpbid 222 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (log‘𝑍) ≤ (log‘((𝑍 / 𝑉)↑2))) |
288 | | relogexp 24342 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈
ℤ) → (log‘((𝑍 / 𝑉)↑2)) = (2 · (log‘(𝑍 / 𝑉)))) |
289 | 30, 270, 288 | sylancl 694 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (log‘((𝑍 / 𝑉)↑2)) = (2 · (log‘(𝑍 / 𝑉)))) |
290 | 287, 289 | breqtrd 4679 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (log‘𝑍) ≤ (2 ·
(log‘(𝑍 / 𝑉)))) |
291 | 28 | relogcld 24369 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (log‘𝑍) ∈
ℝ) |
292 | 30 | relogcld 24369 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ) |
293 | | ledivmul 10899 |
. . . . . . 7
⊢
(((log‘𝑍)
∈ ℝ ∧ (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ
∧ 0 < 2)) → (((log‘𝑍) / 2) ≤ (log‘(𝑍 / 𝑉)) ↔ (log‘𝑍) ≤ (2 · (log‘(𝑍 / 𝑉))))) |
294 | 291, 292,
191, 193, 293 | syl112anc 1330 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((log‘𝑍) / 2) ≤ (log‘(𝑍 / 𝑉)) ↔ (log‘𝑍) ≤ (2 · (log‘(𝑍 / 𝑉))))) |
295 | 290, 294 | mpbird 247 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((log‘𝑍) / 2) ≤ (log‘(𝑍 / 𝑉))) |
296 | 20 | rprege0d 11879 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐿 · 𝐸) / 4))) |
297 | 38, 30 | rerpdivcld 11903 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((#‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ) |
298 | 27 | simp2d 1074 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌))) |
299 | 298 | simp1d 1073 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 1 < 𝑍) |
300 | 109, 299 | rplogcld 24375 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (log‘𝑍) ∈
ℝ+) |
301 | 300 | rphalfcld 11884 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((log‘𝑍) / 2) ∈
ℝ+) |
302 | 301 | rprege0d 11879 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((log‘𝑍) / 2) ∈ ℝ ∧ 0
≤ ((log‘𝑍) /
2))) |
303 | | lemul12a 10881 |
. . . . . 6
⊢
((((((𝐿 ·
𝐸) / 4) ∈ ℝ
∧ 0 ≤ ((𝐿 ·
𝐸) / 4)) ∧
((#‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ) ∧ ((((log‘𝑍) / 2) ∈ ℝ ∧ 0
≤ ((log‘𝑍) / 2))
∧ (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)) →
((((𝐿 · 𝐸) / 4) ≤ ((#‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) ∧ ((log‘𝑍) / 2) ≤ (log‘(𝑍 / 𝑉))) → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((log‘𝑍) / 2)) ≤ (((#‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) · (log‘(𝑍 / 𝑉))))) |
304 | 296, 297,
302, 292, 303 | syl22anc 1327 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) ≤ ((#‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) ∧ ((log‘𝑍) / 2) ≤ (log‘(𝑍 / 𝑉))) → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((log‘𝑍) / 2)) ≤ (((#‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) · (log‘(𝑍 / 𝑉))))) |
305 | 257, 295,
304 | mp2and 715 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((log‘𝑍) / 2)) ≤ (((#‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) · (log‘(𝑍 / 𝑉)))) |
306 | 300 | rpcnd 11874 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (log‘𝑍) ∈
ℂ) |
307 | | 8nn 11191 |
. . . . . . . 8
⊢ 8 ∈
ℕ |
308 | | nnrp 11842 |
. . . . . . . 8
⊢ (8 ∈
ℕ → 8 ∈ ℝ+) |
309 | 307, 308 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
⊢ 8 ∈
ℝ+ |
310 | | rpcnne0 11850 |
. . . . . . 7
⊢ (8 ∈
ℝ+ → (8 ∈ ℂ ∧ 8 ≠ 0)) |
311 | 309, 310 | mp1i 13 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (8 ∈ ℂ ∧ 8
≠ 0)) |
312 | | div23 10704 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑍) ∈ ℂ ∧ (8 ∈
ℂ ∧ 8 ≠ 0)) → (((𝐿 · 𝐸) · (log‘𝑍)) / 8) = (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) |
313 | 148, 306,
311, 312 | syl3anc 1326 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) · (log‘𝑍)) / 8) = (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) |
314 | | divmuldiv 10725 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑍) ∈ ℂ) ∧ ((4
∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))) →
(((𝐿 · 𝐸) / 4) ·
((log‘𝑍) / 2)) =
(((𝐿 · 𝐸) · (log‘𝑍)) / (4 ·
2))) |
315 | 148, 306,
141, 151, 314 | syl22anc 1327 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((log‘𝑍) / 2)) = (((𝐿 · 𝐸) · (log‘𝑍)) / (4 · 2))) |
316 | | 4t2e8 11181 |
. . . . . . 7
⊢ (4
· 2) = 8 |
317 | 316 | oveq2i 6661 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐿 · 𝐸) · (log‘𝑍)) / (4 · 2)) = (((𝐿 · 𝐸) · (log‘𝑍)) / 8) |
318 | 315, 317 | syl6req 2673 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) · (log‘𝑍)) / 8) = (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((log‘𝑍) / 2))) |
319 | 313, 318 | eqtr3d 2658 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)) = (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((log‘𝑍) / 2))) |
320 | 38 | recnd 10068 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (#‘𝐼) ∈ ℂ) |
321 | 292 | recnd 10068 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℂ) |
322 | 30 | rpcnne0d 11881 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉) ∈ ℂ ∧ (𝑍 / 𝑉) ≠ 0)) |
323 | | divass 10703 |
. . . . . 6
⊢
(((#‘𝐼) ∈
ℂ ∧ (log‘(𝑍
/ 𝑉)) ∈ ℂ ∧
((𝑍 / 𝑉) ∈ ℂ ∧ (𝑍 / 𝑉) ≠ 0)) → (((#‘𝐼) · (log‘(𝑍 / 𝑉))) / (𝑍 / 𝑉)) = ((#‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))) |
324 | | div23 10704 |
. . . . . 6
⊢
(((#‘𝐼) ∈
ℂ ∧ (log‘(𝑍
/ 𝑉)) ∈ ℂ ∧
((𝑍 / 𝑉) ∈ ℂ ∧ (𝑍 / 𝑉) ≠ 0)) → (((#‘𝐼) · (log‘(𝑍 / 𝑉))) / (𝑍 / 𝑉)) = (((#‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) · (log‘(𝑍 / 𝑉)))) |
325 | 323, 324 | eqtr3d 2658 |
. . . . 5
⊢
(((#‘𝐼) ∈
ℂ ∧ (log‘(𝑍
/ 𝑉)) ∈ ℂ ∧
((𝑍 / 𝑉) ∈ ℂ ∧ (𝑍 / 𝑉) ≠ 0)) → ((#‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = (((#‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) · (log‘(𝑍 / 𝑉)))) |
326 | 320, 321,
322, 325 | syl3anc 1326 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((#‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = (((#‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) · (log‘(𝑍 / 𝑉)))) |
327 | 305, 319,
326 | 3brtr4d 4685 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)) ≤ ((#‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))) |
328 | | rpdivcl 11856 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+ ∧ 8 ∈
ℝ+) → ((𝐿 · 𝐸) / 8) ∈
ℝ+) |
329 | 15, 309, 328 | sylancl 694 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 8) ∈
ℝ+) |
330 | 329, 300 | rpmulcld 11888 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)) ∈
ℝ+) |
331 | 330 | rpred 11872 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)) ∈ ℝ) |
332 | 292, 30 | rerpdivcld 11903 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ) |
333 | 38, 332 | remulcld 10070 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((#‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℝ) |
334 | 181 | simp3d 1075 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝐸) ∈
ℝ+) |
335 | 331, 333,
334 | lemul2d 11916 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)) ≤ ((#‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ↔ ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ ((𝑈 − 𝐸) · ((#‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))) |
336 | 327, 335 | mpbid 222 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ ((𝑈 − 𝐸) · ((#‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))))) |
337 | 334 | rpcnd 11874 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℂ) |
338 | 332 | recnd 10068 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℂ) |
339 | 337, 320,
338 | mul12d 10245 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · ((#‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))) = ((#‘𝐼) · ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))))) |
340 | 336, 339 | breqtrd 4679 |
1
⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ ((#‘𝐼) · ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))))) |