Theorem lnon0 27653

Description: The domain of a nonzero linear operator contains a nonzero vector. (Contributed by NM, 15-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnon0.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnon0.6	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
lnon0.0	⊢ 𝑂 = (𝑈 0op 𝑊)
lnon0.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lnon0	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ≠ 𝑂) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lnon0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralnex 2992	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ 𝑥 ≠ 𝑍 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍)
2		nne 2798	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ≠ 𝑍 ↔ 𝑥 = 𝑍)
3	2	ralbii 2980	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ 𝑥 ≠ 𝑍 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍)
4	1, 3	bitr3i 266	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍)
5		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝑍))
6		lnon0.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
8		lnon0.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
9		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
10		lnon0.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
11	6, 7, 8, 9, 10	lno0 27611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘𝑍) = (0vec‘𝑊))
12	5, 11	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ 𝑥 = 𝑍) → (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊))
13	12	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑥 = 𝑍 → (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊)))
14	13	ralimdv 2963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊)))
15	6, 7, 10	lnof 27610	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
16		ffn 6045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) → 𝑇 Fn 𝑋)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇 Fn 𝑋)
18	14, 17	jctild 566	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍 → (𝑇 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊))))
19		fconstfv 6476	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇:𝑋⟶{(0vec‘𝑊)} ↔ (𝑇 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊)))
20		fvex 6201	. . . . . . . 8 ⊢ (0vec‘𝑊) ∈ V
21	20	fconst2 6470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇:𝑋⟶{(0vec‘𝑊)} ↔ 𝑇 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}))
22	19, 21	bitr3i 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊)) ↔ 𝑇 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}))
23	18, 22	syl6ib 241	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍 → 𝑇 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)})))
24		lnon0.0	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑈 0op 𝑊)
25	6, 9, 24	0ofval 27642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑂 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}))
26	25	3adant3 1081	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑂 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}))
27	26	eqeq2d 2632	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇 = 𝑂 ↔ 𝑇 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)})))
28	23, 27	sylibrd 249	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍 → 𝑇 = 𝑂))
29	4, 28	syl5bi 232	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (¬ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍 → 𝑇 = 𝑂))
30	29	necon1ad 2811	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇 ≠ 𝑂 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍))
31	30	imp 445	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ≠ 𝑂) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {csn 4177   × cxp 5112   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  NrmCVeccnv 27439  BaseSetcba 27441  0_veccn0v 27443   LnOp clno 27595   0_op c0o 27598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-lno 27599  df-0o 27602

This theorem is referenced by: (None)