Theorem nmblolbii 27654

Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmblolbi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmblolbi.4	⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
nmblolbi.5	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmblolbi.6	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmblolbi.7	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
nmblolbi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmblolbi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
nmblolbii.b	⊢ 𝑇 ∈ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
nmblolbii	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)))

Proof of Theorem nmblolbii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (0vec‘𝑈) → (𝑇‘𝐴) = (𝑇‘(0vec‘𝑈)))
2	1	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (𝐴 = (0vec‘𝑈) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
3		fveq2 6191	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (0vec‘𝑈) → (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘(0vec‘𝑈)))
4	3	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (𝐴 = (0vec‘𝑈) → ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)) = ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈))))
5	2, 4	breq12d 4666	. 2 ⊢ (𝐴 = (0vec‘𝑈) → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)) ↔ (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈)))))
6		nmblolbi.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7		nmblolbi.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8		nmblolbi.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
9	7, 8	nvcl 27516	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐿‘𝐴) ∈ ℝ)
10	6, 9	mpan 706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐿‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘𝐴) ∈ ℝ)
12		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
13	7, 12, 8	nvz 27524	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐿‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (0vec‘𝑈)))
14	6, 13	mpan 706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐿‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (0vec‘𝑈)))
15	14	necon3bid 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐿‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)))
16	15	biimpar 502	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘𝐴) ≠ 0)
17	11, 16	rereccld 10852	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℝ)
18	7, 12, 8	nvgt0 27529	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ (0vec‘𝑈) ↔ 0 < (𝐿‘𝐴)))
19	6, 18	mpan 706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴 ≠ (0vec‘𝑈) ↔ 0 < (𝐿‘𝐴)))
20	19	biimpa 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → 0 < (𝐿‘𝐴))
21	11, 20	recgt0d 10958	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → 0 < (1 / (𝐿‘𝐴)))
22		0re 10040	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
23		ltle 10126	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 < (1 / (𝐿‘𝐴)) → 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝐴))))
24	22, 17, 23	sylancr 695	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (0 < (1 / (𝐿‘𝐴)) → 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝐴))))
25	21, 24	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝐴)))
26		nmblolbi.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
27		nmblolbii.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ∈ 𝐵
28		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
29		nmblolbi.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
30	7, 28, 29	blof 27640	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
31	6, 26, 27, 30	mp3an 1424	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)
32	31	ffvelrni 6358	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
33	32	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
34		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
35		nmblolbi.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
36	28, 34, 35	nvsge0 27519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝐴))) ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑀‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))) = ((1 / (𝐿‘𝐴)) · (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
37	26, 36	mp3an1 1411	. . . . . 6 ⊢ ((((1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝐴))) ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑀‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))) = ((1 / (𝐿‘𝐴)) · (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
38	17, 25, 33, 37	syl21anc 1325	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))) = ((1 / (𝐿‘𝐴)) · (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
39	17	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ)
40		simpl 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
41		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
42	41, 29	bloln 27639	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
43	6, 26, 27, 42	mp3an 1424	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)
44	6, 26, 43	3pm3.2i 1239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
45		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
46	7, 45, 34, 41	lnomul 27615	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ ((1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
47	44, 46	mpan 706	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
48	39, 40, 47	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
49	48	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) = (𝑀‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))))
50	28, 35	nvcl 27516	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ)
51	26, 32, 50	sylancr 695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ)
52	51	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ)
53	52	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℂ)
54	11	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘𝐴) ∈ ℂ)
55	53, 54, 16	divrec2d 10805	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) / (𝐿‘𝐴)) = ((1 / (𝐿‘𝐴)) · (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
56	38, 49, 55	3eqtr4rd 2667	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) / (𝐿‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
57	7, 45	nvscl 27481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
58	6, 57	mp3an1 1411	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
59	58	ancoms 469	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
60	39, 59	syldan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
61	7, 8	nvcl 27516	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ∈ ℝ)
62	6, 60, 61	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ∈ ℝ)
63	7, 45, 12, 8	nv1 27530	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = 1)
64	6, 63	mp3an1 1411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = 1)
65		eqle 10139	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = 1) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ≤ 1)
66	62, 64, 65	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ≤ 1)
67	6, 26, 31	3pm3.2i 1239	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
68		nmblolbi.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
69	7, 28, 8, 35, 68	nmoolb 27626	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) ∧ (((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) ≤ (𝑁‘𝑇))
70	67, 69	mpan 706	. . . . 5 ⊢ ((((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ≤ 1) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) ≤ (𝑁‘𝑇))
71	60, 66, 70	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) ≤ (𝑁‘𝑇))
72	56, 71	eqbrtrd 4675	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) / (𝐿‘𝐴)) ≤ (𝑁‘𝑇))
73	7, 28, 68, 29	nmblore 27641	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ)
74	6, 26, 27, 73	mp3an 1424	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ
75	74	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ)
76		ledivmul2 10902	. . . 4 ⊢ (((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐿‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝐴))) → (((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) / (𝐿‘𝐴)) ≤ (𝑁‘𝑇) ↔ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴))))
77	52, 75, 11, 20, 76	syl112anc 1330	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) / (𝐿‘𝐴)) ≤ (𝑁‘𝑇) ↔ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴))))
78	72, 77	mpbid 222	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)))
79		0le0 11110	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
80		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
81	7, 28, 12, 80, 41	lno0 27611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) = (0vec‘𝑊))
82	6, 26, 43, 81	mp3an 1424	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘(0vec‘𝑈)) = (0vec‘𝑊)
83	82	fveq2i 6194	. . . . 5 ⊢ (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = (𝑀‘(0vec‘𝑊))
84	80, 35	nvz0 27523	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑀‘(0vec‘𝑊)) = 0)
85	26, 84	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑀‘(0vec‘𝑊)) = 0
86	83, 85	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = 0
87	12, 8	nvz0 27523	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐿‘(0vec‘𝑈)) = 0)
88	6, 87	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐿‘(0vec‘𝑈)) = 0
89	88	oveq2i 6661	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈))) = ((𝑁‘𝑇) · 0)
90	74	recni 10052	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘𝑇) ∈ ℂ
91	90	mul01i 10226	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝑇) · 0) = 0
92	89, 91	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈))) = 0
93	79, 86, 92	3brtr4i 4683	. . 3 ⊢ (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈)))
94	93	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈))))
95	5, 78, 94	pm2.61ne 2879	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   / cdiv 10684  NrmCVeccnv 27439  BaseSetcba 27441   ·_𝑠OLD cns 27442  0_veccn0v 27443  norm_CVcnmcv 27445   LnOp clno 27595   normOp_OLD cnmoo 27596   BLnOp cblo 27597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-lno 27599  df-nmoo 27600  df-blo 27601

This theorem is referenced by:  nmblolbi  27655