Theorem metdscnlem 22658

Description: Lemma for metdscn 22659. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn.c	⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
metdscn.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
metdscnlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metdscnlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
metdscnlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
metdscnlem.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
metdscnlem.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
metdscnlem.6	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) < 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
metdscnlem	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) < 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscnlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metdscnlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		metdscnlem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
3		metdscn.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
4	3	metdsf 22651	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5	1, 2, 4	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
6		metdscnlem.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7	5, 6	ffvelrnd 6360	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
8		elxrge0 12281	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐴)))
9	8	simplbi 476	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
11		metdscnlem.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
12	5, 11	ffvelrnd 6360	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
13		elxrge0 12281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)))
14	13	simplbi 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ*)
15	12, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ*)
16	15	xnegcld 12130	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑒(𝐹‘𝐵) ∈ ℝ*)
17	10, 16	xaddcld 12131	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ*)
18		xmetcl 22136	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
19	1, 6, 11, 18	syl3anc 1326	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
20		metdscnlem.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
21	20	rpxrd 11873	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
22	3	metdstri 22654	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵)))
23	1, 2, 6, 11, 22	syl22anc 1327	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵)))
24	8	simprbi 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
25	7, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
26	13	simprbi 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝐵))
27	12, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝐵))
28		ge0nemnf 12004	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘𝐵) ≠ -∞)
29	15, 27, 28	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ≠ -∞)
30		xmetge0 22149	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
31	1, 6, 11, 30	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
32		xlesubadd 12093	. . . 4 ⊢ ((((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ∧ (𝐹‘𝐵) ≠ -∞ ∧ 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))) → (((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵))))
33	10, 15, 19, 25, 29, 31, 32	syl33anc 1341	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵))))
34	23, 33	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
35		metdscnlem.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) < 𝑅)
36	17, 19, 21, 34, 35	xrlelttrd 11991	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ran crn 5115  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347  0cc0 9936  +∞cpnf 10071  -∞cmnf 10072  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075  ℝ⁺crp 11832  -_𝑒cxne 11943   +_𝑒 cxad 11944  [,]cicc 12178  distcds 15950  ℝ^*_𝑠cxrs 16160  ∞Metcxmt 19731  MetOpencmopn 19736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741

This theorem is referenced by:  metdscn  22659