Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | mreexexlem2d.1 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋)) |
2 | 1 | elfvexd 6222 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V) |
3 | | mreexexlem2d.5 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝑋 ∖ 𝐻)) |
4 | | mreexexlem2d.6 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (𝑋 ∖ 𝐻)) |
5 | | mreexexlem2d.7 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺 ∪ 𝐻))) |
6 | | mreexexlem2d.8 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ 𝐻) ∈ 𝐼) |
7 | | cardon 8770 |
. . . . 5
⊢
(card‘𝐹)
∈ On |
8 | 7 | onordi 5832 |
. . . 4
⊢ Ord
(card‘𝐹) |
9 | | cardon 8770 |
. . . . 5
⊢
(card‘𝐺)
∈ On |
10 | 9 | onordi 5832 |
. . . 4
⊢ Ord
(card‘𝐺) |
11 | | ordtri2or3 5824 |
. . . 4
⊢ ((Ord
(card‘𝐹) ∧ Ord
(card‘𝐺)) →
((card‘𝐹) =
((card‘𝐹) ∩
(card‘𝐺)) ∨
(card‘𝐺) =
((card‘𝐹) ∩
(card‘𝐺)))) |
12 | 8, 10, 11 | mp2an 708 |
. . 3
⊢
((card‘𝐹) =
((card‘𝐹) ∩
(card‘𝐺)) ∨
(card‘𝐺) =
((card‘𝐹) ∩
(card‘𝐺))) |
13 | 3 | difss2d 3740 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝑋) |
14 | 2, 13 | ssexd 4805 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V) |
15 | 14 | cardidd 9371 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (card‘𝐹) ≈ 𝐹) |
16 | 15 | ensymd 8007 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐹 ≈ (card‘𝐹)) |
17 | | breq2 4657 |
. . . . 5
⊢
((card‘𝐹) =
((card‘𝐹) ∩
(card‘𝐺)) →
(𝐹 ≈
(card‘𝐹) ↔ 𝐹 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)))) |
18 | 16, 17 | syl5ibcom 235 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((card‘𝐹) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → 𝐹 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)))) |
19 | 4 | difss2d 3740 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝑋) |
20 | 2, 19 | ssexd 4805 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V) |
21 | 20 | cardidd 9371 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (card‘𝐺) ≈ 𝐺) |
22 | 21 | ensymd 8007 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐺 ≈ (card‘𝐺)) |
23 | | breq2 4657 |
. . . . 5
⊢
((card‘𝐺) =
((card‘𝐹) ∩
(card‘𝐺)) →
(𝐺 ≈
(card‘𝐺) ↔ 𝐺 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)))) |
24 | 22, 23 | syl5ibcom 235 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((card‘𝐺) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → 𝐺 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)))) |
25 | 18, 24 | orim12d 883 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((card‘𝐹) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ (card‘𝐺) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) → (𝐹 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝐺 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))))) |
26 | 12, 25 | mpi 20 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝐹 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝐺 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)))) |
27 | | mreexexd.9 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ Fin ∨ 𝐺 ∈ Fin)) |
28 | | ficardom 8787 |
. . . . . 6
⊢ (𝐹 ∈ Fin →
(card‘𝐹) ∈
ω) |
29 | | ficardom 8787 |
. . . . . 6
⊢ (𝐺 ∈ Fin →
(card‘𝐺) ∈
ω) |
30 | 28, 29 | orim12i 538 |
. . . . 5
⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∨ 𝐺 ∈ Fin) →
((card‘𝐹) ∈
ω ∨ (card‘𝐺)
∈ ω)) |
31 | 27, 30 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((card‘𝐹) ∈ ω ∨
(card‘𝐺) ∈
ω)) |
32 | | ordom 7074 |
. . . . 5
⊢ Ord
ω |
33 | | ordelinel 5825 |
. . . . 5
⊢ ((Ord
(card‘𝐹) ∧ Ord
(card‘𝐺) ∧ Ord
ω) → (((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∈ ω ↔ ((card‘𝐹) ∈ ω ∨
(card‘𝐺) ∈
ω))) |
34 | 8, 10, 32, 33 | mp3an 1424 |
. . . 4
⊢
(((card‘𝐹)
∩ (card‘𝐺))
∈ ω ↔ ((card‘𝐹) ∈ ω ∨ (card‘𝐺) ∈
ω)) |
35 | 31, 34 | sylibr 224 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∈
ω) |
36 | | breq2 4657 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑙 = ∅ → (𝑓 ≈ 𝑙 ↔ 𝑓 ≈ ∅)) |
37 | | breq2 4657 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑙 = ∅ → (𝑔 ≈ 𝑙 ↔ 𝑔 ≈ ∅)) |
38 | 36, 37 | orbi12d 746 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑙 = ∅ → ((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ↔ (𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅))) |
39 | 38 | 3anbi1d 1403 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑙 = ∅ → (((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) ↔ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) |
40 | 39 | imbi1d 331 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑙 = ∅ → ((((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) ↔ (((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)))) |
41 | 40 | 2ralbidv 2989 |
. . . . . 6
⊢ (𝑙 = ∅ → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)))) |
42 | 41 | albidv 1849 |
. . . . 5
⊢ (𝑙 = ∅ → (∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) ↔ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)))) |
43 | 42 | imbi2d 330 |
. . . 4
⊢ (𝑙 = ∅ → ((𝜑 → ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) ↔ (𝜑 → ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))))) |
44 | | breq2 4657 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑓 ≈ 𝑙 ↔ 𝑓 ≈ 𝑘)) |
45 | | breq2 4657 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑔 ≈ 𝑙 ↔ 𝑔 ≈ 𝑘)) |
46 | 44, 45 | orbi12d 746 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ↔ (𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘))) |
47 | 46 | 3anbi1d 1403 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑙 = 𝑘 → (((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) ↔ ((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) |
48 | 47 | imbi1d 331 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) ↔ (((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)))) |
49 | 48 | 2ralbidv 2989 |
. . . . . 6
⊢ (𝑙 = 𝑘 → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)))) |
50 | 49 | albidv 1849 |
. . . . 5
⊢ (𝑙 = 𝑘 → (∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) ↔ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)))) |
51 | 50 | imbi2d 330 |
. . . 4
⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝜑 → ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) ↔ (𝜑 → ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))))) |
52 | | breq2 4657 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑙 = suc 𝑘 → (𝑓 ≈ 𝑙 ↔ 𝑓 ≈ suc 𝑘)) |
53 | | breq2 4657 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑙 = suc 𝑘 → (𝑔 ≈ 𝑙 ↔ 𝑔 ≈ suc 𝑘)) |
54 | 52, 53 | orbi12d 746 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑙 = suc 𝑘 → ((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ↔ (𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘))) |
55 | 54 | 3anbi1d 1403 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑙 = suc 𝑘 → (((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) ↔ ((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) |
56 | 55 | imbi1d 331 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑙 = suc 𝑘 → ((((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) ↔ (((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)))) |
57 | 56 | 2ralbidv 2989 |
. . . . . 6
⊢ (𝑙 = suc 𝑘 → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)))) |
58 | 57 | albidv 1849 |
. . . . 5
⊢ (𝑙 = suc 𝑘 → (∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) ↔ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)))) |
59 | 58 | imbi2d 330 |
. . . 4
⊢ (𝑙 = suc 𝑘 → ((𝜑 → ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) ↔ (𝜑 → ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))))) |
60 | | breq2 4657 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → (𝑓 ≈ 𝑙 ↔ 𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)))) |
61 | | breq2 4657 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → (𝑔 ≈ 𝑙 ↔ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)))) |
62 | 60, 61 | orbi12d 746 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → ((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ↔ (𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))))) |
63 | 62 | 3anbi1d 1403 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → (((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) ↔ ((𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) |
64 | 63 | imbi1d 331 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → ((((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) ↔ (((𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)))) |
65 | 64 | 2ralbidv 2989 |
. . . . . 6
⊢ (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)))) |
66 | 65 | albidv 1849 |
. . . . 5
⊢ (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → (∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) ↔ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)))) |
67 | 66 | imbi2d 330 |
. . . 4
⊢ (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → ((𝜑 → ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑙 ∨ 𝑔 ≈ 𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) ↔ (𝜑 → ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))))) |
68 | 1 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋)) |
69 | | mreexexlem2d.2 |
. . . . . . . 8
⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴) |
70 | | mreexexlem2d.3 |
. . . . . . . 8
⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴) |
71 | | mreexexlem2d.4 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧}))) |
72 | 71 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧}))) |
73 | | simplrl 800 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → 𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)) |
74 | 73 | elpwid 4170 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → 𝑓 ⊆ (𝑋 ∖ ℎ)) |
75 | | simplrr 801 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)) |
76 | 75 | elpwid 4170 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → 𝑔 ⊆ (𝑋 ∖ ℎ)) |
77 | | simpr2 1068 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ))) |
78 | | simpr3 1069 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) |
79 | | simpr1 1067 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → (𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅)) |
80 | | en0 8019 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑓 ≈ ∅ ↔ 𝑓 = ∅) |
81 | | en0 8019 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑔 ≈ ∅ ↔ 𝑔 = ∅) |
82 | 80, 81 | orbi12i 543 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ↔ (𝑓 = ∅ ∨ 𝑔 = ∅)) |
83 | 79, 82 | sylib 208 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → (𝑓 = ∅ ∨ 𝑔 = ∅)) |
84 | 68, 69, 70, 72, 74, 76, 77, 78, 83 | mreexexlem3d 16306 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) |
85 | 84 | ex 450 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) → (((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) |
86 | 85 | ralrimivva 2971 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) |
87 | 86 | alrimiv 1855 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) |
88 | | nfv 1843 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎℎ𝜑 |
89 | | nfv 1843 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎℎ 𝑘 ∈ ω |
90 | | nfa1 2028 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎℎ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) |
91 | 88, 89, 90 | nf3an 1831 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎℎ(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) |
92 | | nfv 1843 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑓𝜑 |
93 | | nfv 1843 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑓 𝑘 ∈ ω |
94 | | nfra1 2941 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑓∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) |
95 | 94 | nfal 2153 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑓∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) |
96 | 92, 93, 95 | nf3an 1831 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑓(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) |
97 | | nfv 1843 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑔𝜑 |
98 | | nfv 1843 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑔 𝑘 ∈ ω |
99 | | nfra2 2946 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑔∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) |
100 | 99 | nfal 2153 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑔∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) |
101 | 97, 98, 100 | nf3an 1831 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑔(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) |
102 | | nfv 1843 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑔 𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) |
103 | 101, 102 | nfan 1828 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑔((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)) |
104 | 1 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋)) |
105 | 104 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋)) |
106 | 71 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧}))) |
107 | 106 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧}))) |
108 | | simplrl 800 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → 𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)) |
109 | 108 | elpwid 4170 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → 𝑓 ⊆ (𝑋 ∖ ℎ)) |
110 | | simplrr 801 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)) |
111 | 110 | elpwid 4170 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → 𝑔 ⊆ (𝑋 ∖ ℎ)) |
112 | | simpr2 1068 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ))) |
113 | | simpr3 1069 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) |
114 | | simpll2 1101 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → 𝑘 ∈ ω) |
115 | | simpll3 1102 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) |
116 | | simpr1 1067 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → (𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘)) |
117 | 105, 69, 70, 107, 109, 111, 112, 113, 114, 115, 116 | mreexexlem4d 16307 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) |
118 | 117 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ))) → (((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) |
119 | 118 | expr 643 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)) → (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) → (((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)))) |
120 | 103, 119 | ralrimi 2957 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)) → ∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) |
121 | 120 | ex 450 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) → (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ) → ∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)))) |
122 | 96, 121 | ralrimi 2957 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) |
123 | 91, 122 | alrimi 2082 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω ∧ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) → ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) |
124 | 123 | 3exp 1264 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ω → (∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))))) |
125 | 124 | com12 32 |
. . . . 5
⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝜑 → (∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)) → ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))))) |
126 | 125 | a2d 29 |
. . . 4
⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝜑 → ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) → (𝜑 → ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ suc 𝑘 ∨ 𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))))) |
127 | 43, 51, 59, 67, 87, 126 | finds 7092 |
. . 3
⊢
(((card‘𝐹)
∩ (card‘𝐺))
∈ ω → (𝜑
→ ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼)))) |
128 | 35, 127 | mpcom 38 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∀ℎ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋 ∖ ℎ)(((𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔 ∪ ℎ)) ∧ (𝑓 ∪ ℎ) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ℎ) ∈ 𝐼))) |
129 | 2, 3, 4, 5, 6, 26,
128 | mreexexlemd 16304 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 ≈ 𝑞 ∧ (𝑞 ∪ 𝐻) ∈ 𝐼)) |