Theorem ordom 7074

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	⊢ Ord ω

Proof of Theorem ordom

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2 4754	. . 3 ⊢ (Tr ω ↔ ∀𝑦∀𝑥((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω))
2		onelon 5748	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ On)
3	2	expcom 451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∈ On → 𝑦 ∈ On))
4		limord 5784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Lim 𝑧 → Ord 𝑧)
5		ordtr 5737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord 𝑧 → Tr 𝑧)
6		trel 4759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Tr 𝑧 → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑧))
7	4, 5, 6	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Lim 𝑧 → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑧))
8	7	expd 452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Lim 𝑧 → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑦 ∈ 𝑧)))
9	8	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → (Lim 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑦 ∈ 𝑧)))
10	9	a2d 29	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → ((Lim 𝑧 → 𝑥 ∈ 𝑧) → (Lim 𝑧 → 𝑦 ∈ 𝑧)))
11	10	alimdv 1845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → (∀𝑧(Lim 𝑧 → 𝑥 ∈ 𝑧) → ∀𝑧(Lim 𝑧 → 𝑦 ∈ 𝑧)))
12	3, 11	anim12d 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑧(Lim 𝑧 → 𝑥 ∈ 𝑧)) → (𝑦 ∈ On ∧ ∀𝑧(Lim 𝑧 → 𝑦 ∈ 𝑧))))
13		elom 7068	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑧(Lim 𝑧 → 𝑥 ∈ 𝑧)))
14		elom 7068	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω ↔ (𝑦 ∈ On ∧ ∀𝑧(Lim 𝑧 → 𝑦 ∈ 𝑧)))
15	12, 13, 14	3imtr4g 285	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝑦 ∈ ω))
16	15	imp 445	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
17	16	ax-gen 1722	. . 3 ⊢ ∀𝑥((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
18	1, 17	mpgbir 1726	. 2 ⊢ Tr ω
19		omsson 7069	. 2 ⊢ ω ⊆ On
20		ordon 6982	. 2 ⊢ Ord On
21		trssord 5740	. 2 ⊢ ((Tr ω ∧ ω ⊆ On ∧ Ord On) → Ord ω)
22	18, 19, 20, 21	mp3an 1424	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384  ∀wal 1481   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  Tr wtr 4752  Ord word 5722  Oncon0 5723  Lim wlim 5724  ωcom 7065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-om 7066

This theorem is referenced by:  elnn  7075  omon  7076  limom  7080  ssnlim  7083  omsinds  7084  peano5  7089  nnarcl  7696  nnawordex  7717  oaabslem  7723  oaabs2  7725  omabslem  7726  onomeneq  8150  ominf  8172  findcard3  8203  nnsdomg  8219  dffi3  8337  wofib  8450  alephgeom  8905  iscard3  8916  iunfictbso  8937  unctb  9027  ackbij2lem1  9041  ackbij1lem3  9044  ackbij1lem18  9059  ackbij2  9065  cflim2  9085  fin23lem26  9147  fin23lem23  9148  fin23lem27  9150  fin67  9217  alephexp1  9401  pwfseqlem3  9482  pwcdandom  9489  winainflem  9515  wunex2  9560  om2uzoi  12754  ltweuz  12760  fz1isolem  13245  mreexexdOLD  16309  1stcrestlem  21255  hfuni  32291  hfninf  32293  finxpreclem4  33231