Theorem nmfnsetre 28736

Description: The set in the supremum of the functional norm definition df-nmfn 28704 is a set of reals. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmfnsetre	⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem nmfnsetre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℂ)
2	1	abscld 14175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ)
3		eleq1 2689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ))
4	2, 3	syl5ibr 236	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)) → ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℝ))
5	4	impcom 446	. . . . 5 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	adantrl 752	. . . 4 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	exp31 630	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)))
8	7	rexlimdv 3030	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ))
9	8	abssdv 3676	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {cab 2608  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  ℂcc 9934  ℝcr 9935  1c1 9937   ≤ cle 10075  abscabs 13974   ℋchil 27776  norm_ℎcno 27780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  nmfnxr  28738  nmfnrepnf  28739  nmfnlb  28783  nmfnleub  28784  branmfn  28964