Theorem ofsubge0 11019

Description: Function analogue of subge0 10541. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ofsubge0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → ((𝐴 × {0}) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺) ↔ 𝐺 ∘𝑟 ≤ 𝐹))

Proof of Theorem ofsubge0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1062	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2	1	ffvelrnda 6359	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
3		simp3 1063	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
4	3	ffvelrnda 6359	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
5	2, 4	subge0d 10617	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ↔ (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
6	5	ralbidva 2985	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
7		0cn 10032	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
8		fnconstg 6093	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℂ → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
9	7, 8	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
10		ffn 6045	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐴)
11	1, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴)
12		ffn 6045	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐴)
13	3, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐺 Fn 𝐴)
14		simp1 1061	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
15		inidm 3822	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
16	11, 13, 14, 14, 15	offn 6908	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺) Fn 𝐴)
17		c0ex 10034	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
18	17	fvconst2 6469	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
19	18	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
20		eqidd 2623	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
21		eqidd 2623	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
22	11, 13, 14, 14, 15, 20, 21	ofval 6906	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
23	9, 16, 14, 14, 15, 19, 22	ofrfval 6905	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → ((𝐴 × {0}) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
24	13, 11, 14, 14, 15, 21, 20	ofrfval 6905	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐺 ∘𝑟 ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
25	6, 23, 24	3bitr4d 300	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → ((𝐴 × {0}) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺) ↔ 𝐺 ∘𝑟 ≤ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  {csn 4177   class class class wbr 4653   × cxp 5112   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895   ∘_𝑟 cofr 6896  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936   ≤ cle 10075   − cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by: (None)