Theorem subge0d 10617

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 10541	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936   ≤ cle 10075   − cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  ofsubge0  11019  uzsubsubfz  12363  modsubdir  12739  modsumfzodifsn  12743  serle  12856  discr  13001  bcval5  13105  fzomaxdiflem  14082  sqreulem  14099  amgm2  14109  climle  14370  rlimle  14378  iseralt  14415  fsumle  14531  cvgcmp  14548  binomrisefac  14773  smuval2  15204  pcz  15585  4sqlem15  15663  mndodconglem  17960  ipcau2  23033  pjthlem1  23208  ovolicc2lem4  23288  vitalilem2  23378  itg1lea  23479  dvlip  23756  dvge0  23769  dvle  23770  dvivthlem1  23771  dvfsumlem2  23790  dvfsumlem4  23792  loglesqrt  24499  emcllem6  24727  harmoniclbnd  24735  basellem9  24815  gausslemma2dlem0h  25088  lgseisenlem1  25100  vmadivsum  25171  rplogsumlem1  25173  dchrisumlem2  25179  rplogsum  25216  vmalogdivsum2  25227  selberg2lem  25239  logdivbnd  25245  pntpbnd2  25276  pntibndlem2  25280  pntlemg  25287  pntlemn  25289  ttgcontlem1  25765  brbtwn2  25785  axpaschlem  25820  axcontlem8  25851  crctcsh  26716  clwlkclwwlklem2a1  26893  clwlkclwwlklem2fv2  26897  pjhthlem1  28250  leop2  28983  pjssposi  29031  2sqmod  29648  fdvposle  30679  rddif2  32467  dnibndlem4  32471  broucube  33443  areacirclem2  33501  areacirclem4  33503  areacirclem5  33504  areacirc  33505  acongrep  37547  lptre2pt  39872  dvnmul  40158  dvnprodlem1  40161  dvnprodlem2  40162  stoweidlem1  40218  stoweidlem26  40243  stoweidlem62  40279  wallispilem4  40285  fourierdlem26  40350  fourierdlem42  40366  fourierdlem65  40388  fourierdlem75  40398  elaa2lem  40450  etransclem3  40454  etransclem7  40458  etransclem10  40461  etransclem20  40471  etransclem21  40472  etransclem22  40473  etransclem24  40475  etransclem27  40478  hoidmvlelem1  40809  nnpw2pmod  42377