Theorem prodeq1 14639

Description: Equality theorem for a product. (Contributed by Scott Fenton, 1-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prodeq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2764	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
2		nfcv 2764	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
3	1, 2	prodeq1f 14638	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483  ∏cprod 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seq 12802  df-prod 14636

This theorem is referenced by:  prodeq1i  14648  prodeq1d  14651  prod1  14674  fprodf1o  14676  fprodss  14678  fprodcllem  14681  fprodmul  14690  fproddiv  14691  fprodconst  14708  fprodn0  14709  fprod2d  14711  fprodmodd  14728  coprmprod  15375  coprmproddvds  15377  fprodexp  39826  fprodabs2  39827  mccl  39830  fprodcn  39832  fprodcncf  40114  dvmptfprod  40160  dvnprodlem3  40163  hoidmvval  40791  ovnhoi  40817  hspmbllem2  40841  fmtnorec2  41455