Theorem fprodconst 14708

Description: The product of constant terms (𝑘 is not free in 𝐵.) (Contributed by Scott Fenton, 12-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fprodconst	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(#‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem fprodconst

Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exp0 12864	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
2	1	eqcomd 2628	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 1 = (𝐵↑0))
3		prodeq1 14639	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
4		prod0 14673	. . . . . 6 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
5	3, 4	syl6eq 2672	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 1)
6		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → (#‘𝐴) = (#‘∅))
7		hash0 13158	. . . . . . 7 ⊢ (#‘∅) = 0
8	6, 7	syl6eq 2672	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (#‘𝐴) = 0)
9	8	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐵↑(#‘𝐴)) = (𝐵↑0))
10	5, 9	eqeq12d 2637	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(#‘𝐴)) ↔ 1 = (𝐵↑0)))
11	2, 10	syl5ibrcom 237	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(#‘𝐴))))
12	11	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(#‘𝐴))))
13		eqidd 2623	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → 𝐵 = 𝐵)
14		simprl 794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
15		simprr 796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
16		simpllr 799	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
17		simpllr 799	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
18		elfznn 12370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
19	18	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
20		fvconst2g 6467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐵})‘𝑛) = 𝐵)
21	17, 19, 20	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → ((ℕ × {𝐵})‘𝑛) = 𝐵)
22	13, 14, 15, 16, 21	fprod 14671	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (seq1( · , (ℕ × {𝐵}))‘(#‘𝐴)))
23		expnnval 12863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐵↑(#‘𝐴)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐵}))‘(#‘𝐴)))
24	23	ad2ant2lr 784	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (𝐵↑(#‘𝐴)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐵}))‘(#‘𝐴)))
25	22, 24	eqtr4d 2659	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(#‘𝐴)))
26	25	expr 643	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(#‘𝐴))))
27	26	exlimdv 1861	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(#‘𝐴))))
28	27	expimpd 629	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(#‘𝐴))))
29		fz1f1o 14441	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
30	29	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
31	12, 28, 30	mpjaod 396	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(#‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990  ∅c0 3915  {csn 4177   × cxp 5112  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941  ℕcn 11020  ...cfz 12326  seqcseq 12801  ↑cexp 12860  #chash 13117  ∏cprod 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636

This theorem is referenced by:  risefallfac  14755  gausslemma2dlem5  25096  gausslemma2dlem6  25097  breprexpnat  30712  circlemethnat  30719  circlevma  30720  circlemethhgt  30721  bcprod  31624  etransclem23  40474  hoicvrrex  40770  ovnhoilem1  40815  vonsn  40905