Theorem prod1 14674

Description: Any product of one over a valid set is one. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prod1	⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem prod1

Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		ax-1ne0 10005	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ≠ 0)
5	1	prodfclim1 14625	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , ((ℤ≥‘𝑀) × {1})) ⇝ 1)
6	5	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → seq𝑀( · , ((ℤ≥‘𝑀) × {1})) ⇝ 1)
7		simpl 473	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
8		1ex 10035	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
9	8	fvconst2 6469	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((ℤ≥‘𝑀) × {1})‘𝑘) = 1)
10		ifid 4125	. . . . . 6 ⊢ if(𝑘 ∈ 𝐴, 1, 1) = 1
11	9, 10	syl6eqr 2674	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((ℤ≥‘𝑀) × {1})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 1, 1))
12	11	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((ℤ≥‘𝑀) × {1})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 1, 1))
13		1cnd 10056	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
14	1, 2, 4, 6, 7, 12, 13	zprodn0 14669	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
15		uzf 11690	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
16	15	fdmi 6052	. . . . . . . 8 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
17	16	eleq2i 2693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)
18		ndmfv 6218	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
19	17, 18	sylnbir 321	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
20	19	sseq2d 3633	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝐴 ⊆ ∅))
21	20	biimpac 503	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
22		ss0 3974	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
23		prodeq1 14639	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 1)
24		prod0 14673	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 1 = 1
25	23, 24	syl6eq 2672	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
26	21, 22, 25	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
27	14, 26	pm2.61dan 832	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
28		fz1f1o 14441	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
29		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑗) → 1 = 1)
30		simpl 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
31		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
32		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
33		elfznn 12370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(#‘𝐴)) → 𝑗 ∈ ℕ)
34	8	fvconst2 6469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(#‘𝐴)) → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
36	35	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (1...(#‘𝐴))) → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
37	29, 30, 31, 32, 36	fprod 14671	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(#‘𝐴)))
38		nnuz 11723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
39	38	prodf1 14623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(#‘𝐴)) = 1)
40	39	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(#‘𝐴)) = 1)
41	37, 40	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
42	41	ex 450	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1))
43	42	exlimdv 1861	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1))
44	43	imp 445	. . . 4 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
45	25, 44	jaoi 394	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
46	28, 45	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
47	27, 46	jaoi 394	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ifcif 4086  𝒫 cpw 4158  {csn 4177   class class class wbr 4653   × cxp 5112  dom cdm 5114  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941  ℕcn 11020  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  seqcseq 12801  #chash 13117   ⇝ cli 14215  ∏cprod 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636

This theorem is referenced by:  fprodex01  29571  etransclem35  40486