Theorem psseq1 3694

Description: Equality theorem for proper subclass. (Contributed by NM, 7-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
psseq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊊ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐶))

Proof of Theorem psseq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3626	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
2		neeq1 2856	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
3	1, 2	anbi12d 747	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)))
4		df-pss 3590	. 2 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐶 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))
5		df-pss 3590	. 2 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐶 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
6	3, 4, 5	3bitr4g 303	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊊ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ≠ wne 2794   ⊆ wss 3574   ⊊ wpss 3575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-ne 2795  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590

This theorem is referenced by:  psseq1i  3696  psseq1d  3699  psstr  3711  sspsstr  3712  brrpssg  6939  sorpssuni  6946  pssnn  8178  marypha1lem  8339  infeq5i  8533  infpss  9039  fin4i  9120  isfin2-2  9141  zornn0g  9327  ttukeylem7  9337  elnp  9809  elnpi  9810  ltprord  9852  pgpfac1lem1  18473  pgpfac1lem5  18478  pgpfac1  18479  pgpfaclem2  18481  pgpfac  18483  islbs3  19155  alexsubALTlem4  21854  wilthlem2  24795  spansncv  28512  cvbr  29141  cvcon3  29143  cvnbtwn  29145  dfon2lem3  31690  dfon2lem4  31691  dfon2lem5  31692  dfon2lem6  31693  dfon2lem7  31694  dfon2lem8  31695  dfon2  31697  lcvbr  34308  lcvnbtwn  34312  mapdcv  36949