wilthlem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem wilthlem2 24795

Description: Lemma for wilth 24797: induction step. The "hand proof" version of this theorem works by writing out the list of all numbers from 1 to 𝑃 − 1 in pairs such that a number is paired with its inverse. Every number has a unique inverse different from itself except 1 and 𝑃 − 1, and so each pair multiplies to 1, and 1 and 𝑃 − 1≡-1 multiply to -1, so the full product is equal to -1. Here we make this precise by doing the product pair by pair.

The induction hypothesis says that every subset 𝑆 of 1...(𝑃 − 1) that is closed under inverse (i.e. all pairs are matched up) and contains 𝑃 − 1 multiplies to -1 mod 𝑃. Given such a set, we take out one element 𝑧 ≠ 𝑃 − 1. If there are no such elements, then 𝑆 = {𝑃 − 1} which forms the base case. Otherwise, 𝑆 ∖ {𝑧, 𝑧↑-1} is also closed under inverse and contains 𝑃 − 1, so the induction hypothesis says that this equals -1; and the remaining two elements are either equal to each other, in which case wilthlem1 24794 gives that 𝑧 = 1 or 𝑃 − 1, and we've already excluded the second case, so the product gives 1; or 𝑧 ≠ 𝑧↑-1 and their product is 1. In either case the accumulated product is unaffected. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
wilthlem.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘ℂ_fld)
wilthlem.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∣ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥)}
wilthlem2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
wilthlem2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
wilthlem2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))

**Assertion**
Ref	Expression
wilthlem2	⊢ (𝜑 → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑠,𝑦,𝐴 𝑃,𝑠,𝑥,𝑦 𝜑,𝑥,𝑦 𝑆,𝑠,𝑥,𝑦 𝑇,𝑠,𝑥,𝑦 Allowed substitution hint: 𝜑(𝑠)

Proof of Theorem wilthlem2 Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)})
2		wilthlem2.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
3		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑃 − 1) ∈ 𝑆))
4		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
5	4	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
6	3, 5	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)))
7		wilthlem.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∣ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥)}
8	6, 7	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)))
9	2, 8	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)))
10	9	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
11	10	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ 𝑆)
12	11	snssd 4340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {(𝑃 − 1)} ⊆ 𝑆)
13	12	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → {(𝑃 − 1)} ⊆ 𝑆)
14	1, 13	eqssd 3620	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → 𝑆 = {(𝑃 − 1)})
15	14	reseq2d 5396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ( I ↾ 𝑆) = ( I ↾ {(𝑃 − 1)}))
16		mptresid 5456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧) = ( I ↾ {(𝑃 − 1)})
17	15, 16	syl6eqr 2674	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ( I ↾ 𝑆) = (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧))
18	17	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → (𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) = (𝑇 Σ_g (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)))
19	18	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = ((𝑇 Σ_g (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃))
20		wilthlem2.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
21		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
23	22	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
24		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
25		negsub 10329	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑃 + -1) = (𝑃 − 1))
26	23, 24, 25	sylancl 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 + -1) = (𝑃 − 1))
27		neg1cn 11124	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
28		addcom 10222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑃 + -1) = (-1 + 𝑃))
29	23, 27, 28	sylancl 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 + -1) = (-1 + 𝑃))
30	26, 29	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) = (-1 + 𝑃))
31		cnring 19768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ_fld ∈ Ring
32		wilthlem.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘ℂ_fld)
33	32	ringmgp 18553	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ_fld ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
34	31, 33	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
35		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ₀)
36	22, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ₀)
37	36	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
38		cnfldbas 19750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂ_fld)
39	32, 38	mgpbas 18495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘𝑇)
40		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑃 − 1) → 𝑧 = (𝑃 − 1))
41	39, 40	gsumsn 18354	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℂ) → (𝑇 Σ_g (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) = (𝑃 − 1))
42	34, 37, 37, 41	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σ_g (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) = (𝑃 − 1))
43	23	mulid2d 10058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑃) = 𝑃)
44	43	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-1 + (1 · 𝑃)) = (-1 + 𝑃))
45	30, 42, 44	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σ_g (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) = (-1 + (1 · 𝑃)))
46	45	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 Σ_g (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃) = ((-1 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃))
47		neg1rr 11125	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
48	47	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
49	22	nnrpd 11870	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
50		1zzd 11408	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
51		modcyc 12705	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-1 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
53	46, 52	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 Σ_g (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
54	53	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σ_g (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
55	19, 54	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
56	55	ex 450	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)} → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
57		nss 3663	. . 3 ⊢ (¬ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)} ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)}))
58		cnfld1 19771	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1_r‘ℂ_fld)
59	32, 58	ringidval 18503	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (0_g‘𝑇)
60		cnfldmul 19752	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (._r‘ℂ_fld)
61	32, 60	mgpplusg 18493	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (+_g‘𝑇)
62		cncrng 19767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ_fld ∈ CRing
63	32	crngmgp 18555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ_fld ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 ∈ CMnd
65	64	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑇 ∈ CMnd)
66	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ∈ 𝐴)
67		f1oi 6174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ↾ 𝑆):𝑆–1-1-onto→𝑆
68		f1of 6137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( I ↾ 𝑆):𝑆–1-1-onto→𝑆 → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)
69	67, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆
70	9	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)))
71	70	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
72		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑧 ∈ ℤ)
73	72	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ⊆ ℤ
74	71, 73	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℤ)
75		zsscn 11385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
76	74, 75	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
77		fss 6056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( I ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ)
78	69, 76, 77	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ)
79	78	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ)
80		fzfi 12771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin
81		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑆 ∈ Fin)
82	80, 71, 81	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
83		1ex 10035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ V)
85	78, 82, 84	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑆) finSupp 1)
86	85	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ 𝑆) finSupp 1)
87		disjdif 4040	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∩ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ∅
88	87	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∩ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ∅)
89		undif2 4044	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ 𝑆)
90		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ 𝑆)
91	10	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
93		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦↑(𝑃 − 2)) = (𝑧↑(𝑃 − 2)))
94	93	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
95	94	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
96	95	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆 → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
97	90, 92, 96	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
98		prssi 4353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆)
99	90, 97, 98	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆)
100		ssequn1 3783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆 ↔ ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ 𝑆) = 𝑆)
101	99, 100	sylib 208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ 𝑆) = 𝑆)
102	89, 101	syl5req 2669	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 = ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
103	39, 59, 61, 65, 66, 79, 86, 88, 102	gsumsplit 18328	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) = ((𝑇 Σ_g (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σ_g (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))))
104	99	resabs1d 5428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
105	104	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σ_g (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = (𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
106		difss 3737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ 𝑆
107		resabs1 5427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ 𝑆 → (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
108	106, 107	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
109	108	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 Σ_g (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) = (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
110	109	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σ_g (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) = (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
111	105, 110	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σ_g (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σ_g (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) = ((𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))))
112	103, 111	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) = ((𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))))
113	112	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (((𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃))
114		prfi 8235	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∈ Fin
115	114	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∈ Fin)
116		zsubrg 19799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂ_fld)
117	32	subrgsubm 18793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → ℤ ∈ (SubMnd‘𝑇))
118	116, 117	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ℤ ∈ (SubMnd‘𝑇))
119		f1oi 6174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}–1-1-onto→{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}
120		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}–1-1-onto→{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
121	119, 120	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}
122	74	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ⊆ ℤ)
123	99, 122	sstrd 3613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ ℤ)
124		fss 6056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∧ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ ℤ) → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶ℤ)
125	121, 123, 124	sylancr 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶ℤ)
126	83	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ V)
127	125, 115, 126	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) finSupp 1)
128	59, 65, 115, 118, 125, 127	gsumsubmcl 18319	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) ∈ ℤ)
129	128	zred 11482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) ∈ ℝ)
130		1red 10055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ ℝ)
131	71	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
132	131	ssdifssd 3748	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
133		ssfi 8180	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin ∧ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ Fin)
134	80, 132, 133	sylancr 695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ Fin)
135		f1oi 6174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})–1-1-onto→(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
136		f1of 6137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})–1-1-onto→(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
137	135, 136	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
138	122	ssdifssd 3748	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ ℤ)
139		fss 6056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ ℤ) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶ℤ)
140	137, 138, 139	sylancr 695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶ℤ)
141	140, 134, 126	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) finSupp 1)
142	59, 65, 134, 118, 140, 141	gsumsubmcl 18319	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) ∈ ℤ)
143	49	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
144	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑇 ∈ Mnd)
145	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ⊆ ℂ)
146	145, 90	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ ℂ)
147		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → 𝑤 = 𝑧)
148	39, 147	gsumsn 18354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑇 Σ_g (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
149	144, 146, 146, 148	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σ_g (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
150	149	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑇 Σ_g (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
151		mptresid 5456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤) = ( I ↾ {𝑧})
152		dfsn2 4190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑧} = {𝑧, 𝑧}
153		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → 𝑧 = 1)
154	153	orcd 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1)))
155	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℙ)
156	131, 90	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
157		wilthlem1 24794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1))))
158	155, 156, 157	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1))))
159	158	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1))) → 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
160	154, 159	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
161	160	preq2d 4275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → {𝑧, 𝑧} = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
162	152, 161	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → {𝑧} = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
163	162	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → ( I ↾ {𝑧}) = ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
164	151, 163	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤) = ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
165	164	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑇 Σ_g (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = (𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
166	150, 165, 153	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = 1)
167	166	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
168		df-pr 4180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} = ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
169	168	reseq2i 5393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = ( I ↾ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
170		mptresid 5456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤) = ( I ↾ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
171	169, 170	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤)
172	171	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = (𝑇 Σ_g (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤))
173	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → 𝑇 ∈ CMnd)
174		snfi 8038	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑧} ∈ Fin
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → {𝑧} ∈ Fin)
176		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧} → 𝑤 = 𝑧)
177	176	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑤 = 𝑧)
178	146	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑧 ∈ ℂ)
179	177, 178	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑤 ∈ ℂ)
180	179	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑤 ∈ ℂ)
181	145, 97	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℂ)
182	181	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℂ)
183		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})
184		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↔ 𝑧 = (𝑃 − 1))
185	183, 184	sylnib 318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑧 = (𝑃 − 1))
186		biorf 420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 = (𝑃 − 1) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1)))
187	185, 186	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1)))
188		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ V
189	188	elsn 4192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧} ↔ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧)
190		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 ↔ 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
191	189, 190	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧} ↔ 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
192		orcom 402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1)))
193	158, 191, 192	3bitr4g 303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧} ↔ (𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1)))
194	187, 193	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 = 1 ↔ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧}))
195	194	necon3abid 2830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 ≠ 1 ↔ ¬ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧}))
196	195	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ¬ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧})
197		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → 𝑤 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
198	39, 61, 173, 175, 180, 182, 196, 182, 197	gsumunsn 18359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σ_g (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤)) = ((𝑇 Σ_g (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
199	172, 198	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ((𝑇 Σ_g (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
200	149	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σ_g (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
201	200	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑇 Σ_g (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
202	199, 201	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
203	202	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
204	156, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ ℤ)
205	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℕ)
206		fzm1ndvds 15044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑧)
207	205, 156, 206	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑧)
208		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
209	208	prmdiv 15490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑧) → (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
210	155, 204, 207, 209	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
211	210	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1))
212		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑧 ∈ ℕ)
213	156, 212	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ ℕ)
214	131, 97	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
215		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ)
216	214, 215	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ)
217	213, 216	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ∈ ℕ)
218	217	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ∈ ℤ)
219		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ ℤ)
220		moddvds 14991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
221	205, 218, 219, 220	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
222	211, 221	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
223	222	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
224	203, 223	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
225	167, 224	pm2.61dane 2881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
226		modmul1 12723	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ((𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = ((1 · (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃))
227	129, 130, 142, 143, 225, 226	syl221anc 1337	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = ((1 · (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃))
228	142	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) ∈ ℂ)
229	228	mulid2d 10058	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (1 · (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) = (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
230	229	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((1 · (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = ((𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃))
231		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ∈ V
232	231	elpw2 4828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
233	132, 232	sylibr 224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)))
234	11	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ 𝑆)
235		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑃 − 1) ↔ (𝑃 − 1) = 𝑧)
236	184, 235	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↔ (𝑃 − 1) = 𝑧)
237	183, 236	sylnib 318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ (𝑃 − 1) = 𝑧)
238		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) = (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)))
239	238	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
240	205, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ₀)
241		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
242	240, 241	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
243		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0) → (𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
244	242, 243	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
245		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
246	155, 245	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℤ)
247	122, 234	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
248		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℤ
249		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℤ)
250	247, 248, 249	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℤ)
251		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
252	246, 250, 251	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
253	205	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℂ)
254	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ ℂ)
255	240	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
256	253, 254, 255	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (1 · (𝑃 − 1))))
257	253, 255	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · (𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
258	257, 253, 254	subsubd 10420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 − 1)) = (((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃) + 1))
259	255	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (1 · (𝑃 − 1)) = (𝑃 − 1))
260	259	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (1 · (𝑃 − 1))) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 − 1)))
261	253, 255, 254	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 · 1)))
262	253	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · 1) = 𝑃)
263	262	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 · 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃))
264	261, 263	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃))
265	264	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1) = (((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃) + 1))
266	258, 260, 265	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (1 · (𝑃 − 1))) = ((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1))
267	256, 266	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) = ((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1))
268	267	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1) = (((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1) − 1))
269	250	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℂ)
270	253, 269	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) ∈ ℂ)
271		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1) − 1) = (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
272	270, 24, 271	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1) − 1) = (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
273	268, 272	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1) = (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
274	252, 273	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∥ (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1))
275	131, 234	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
276		fzm1ndvds 15044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑃 − 1))
277	205, 275, 276	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑃 − 1))
278		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
279	278	prmdiveq 15491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ (𝑃 − 1)) → (((𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1)) ↔ (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
280	155, 247, 277, 279	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1)) ↔ (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
281	244, 274, 280	mpbi2and 956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
282	208	prmdivdiv 15492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑧 = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
283	155, 156, 282	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
284	281, 283	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) = 𝑧 ↔ (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
285	239, 284	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (𝑃 − 1) = 𝑧))
286	237, 285	mtod 189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
287		ioran 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ ((𝑃 − 1) = 𝑧 ∨ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ↔ (¬ (𝑃 − 1) = 𝑧 ∧ ¬ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
288	237, 286, 287	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ ((𝑃 − 1) = 𝑧 ∨ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
289		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 − 1) ∈ V
290	289	elpr 4198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 − 1) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ ((𝑃 − 1) = 𝑧 ∨ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
291	288, 290	sylnibr 319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ (𝑃 − 1) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
292	234, 291	eldifd 3585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
293		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → 𝑦 ∈ 𝑆)
294	92	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
295	293, 294	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
296		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
297	155	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑃 ∈ ℙ)
298	131	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
299		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
300	299	prmdivdiv 15492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑦 = ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
301	297, 298, 300	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 = ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
302		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) = (𝑧↑(𝑃 − 2)))
303	302	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
304	303	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → (𝑦 = ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ↔ 𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
305	301, 304	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → 𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
306		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) = (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)))
307	306	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
308	283	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
309	301, 308	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
310	307, 309	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → 𝑦 = 𝑧))
311	305, 310	orim12d 883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 ∨ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) → (𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∨ 𝑦 = 𝑧)))
312		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ V
313	312	elpr 4198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 ∨ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
314		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑦 ∈ V
315	314	elpr 4198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ (𝑦 = 𝑧 ∨ 𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
316		orcom 402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 = 𝑧 ∨ 𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ↔ (𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∨ 𝑦 = 𝑧))
317	315, 316	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ (𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∨ 𝑦 = 𝑧))
318	311, 313, 317	3imtr4g 285	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} → 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
319	318	con3d 148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} → ¬ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
320	319	impr 649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ¬ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
321	296, 320	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ¬ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
322	295, 321	eldifd 3585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
323	322	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
324	292, 323	jca 554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
325		eleq2 2690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
326		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
327	326	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
328	325, 327	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
329	328, 7	elrab2 3366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
330	233, 324, 329	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝐴)
331		wilthlem2.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
332	331	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
333		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆 ↔ (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
334	99, 333	sylib 208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
335		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑧 ∈ V
336	335	prnz 4310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ≠ ∅
337	336	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ≠ ∅)
338	334, 337	eqnetrd 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ≠ ∅)
339		disj4 4025	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = ∅ ↔ ¬ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆)
340	339	necon2abii 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆 ↔ (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ≠ ∅)
341	338, 340	sylibr 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆)
342		psseq1 3694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (𝑠 ⊊ 𝑆 ↔ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆))
343		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ( I ↾ 𝑠) = ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
344	343	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑠)) = (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
345	344	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = ((𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃))
346	345	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
347	342, 346	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ((𝑠 ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ↔ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
348	347	rspcv 3305	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝐴 → (∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
349	330, 332, 341, 348	syl3c 66	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
350	230, 349	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((1 · (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
351	113, 227, 350	3eqtrd 2660	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
352	351	ex 450	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
353	352	exlimdv 1861	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
354	57, 353	syl5bi 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)} → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
355	56, 354	pm2.61d 170	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 196 ∨ wo 383 ∧ wa 384 = wceq 1483 ∃wex 1704 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∀wral 2912 {crab 2916 Vcvv 3200 ∖ cdif 3571 ∪ cun 3572 ∩ cin 3573 ⊆ wss 3574 ⊊ wpss 3575 ∅c0 3915 𝒫 cpw 4158 {csn 4177 {cpr 4179 class class class wbr 4653 ↦ cmpt 4729 I cid 5023 ↾ cres 5116 ⟶wf 5884 –1-1-onto→wf1o 5887 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 Fincfn 7955 finSupp cfsupp 8275 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 · cmul 9941 − cmin 10266 -cneg 10267 ℕcn 11020 2c2 11070 ℕ₀cn0 11292 ℤcz 11377 ℤ_≥cuz 11687 ℝ⁺crp 11832 ...cfz 12326 mod cmo 12668 ↑cexp 12860 ∥ cdvds 14983 ℙcprime 15385 Σ_g cgsu 16101 Mndcmnd 17294 SubMndcsubmnd 17334 CMndccmn 18193 mulGrpcmgp 18489 Ringcrg 18547 CRingccrg 18548 SubRingcsubrg 18776 ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-phi 15471 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-grp 17425 df-minusg 17426 df-mulg 17541 df-subg 17591 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-mgp 18490 df-ur 18502 df-ring 18549 df-cring 18550 df-subrg 18778 df-cnfld 19747

This theorem is referenced by: wilthlem3 24796

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