Theorem sgnpbi 30608

Description: Positive signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnpbi	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem sgnpbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		eqeq1 2626	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 0 = 1))
3	2	imbi1d 331	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴) ↔ (0 = 1 → 0 < 𝐴)))
4		eqeq1 2626	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 1 = 1))
5	4	imbi1d 331	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴) ↔ (1 = 1 → 0 < 𝐴)))
6		eqeq1 2626	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ -1 = 1))
7	6	imbi1d 331	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴) ↔ (-1 = 1 → 0 < 𝐴)))
8		0ne1 11088	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
9	8	neii 2796	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 = 1
10	9	pm2.21i 116	. . . . 5 ⊢ (0 = 1 → 0 < 𝐴)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (0 = 1 → 0 < 𝐴))
12		simp2 1062	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴 ∧ 1 = 1) → 0 < 𝐴)
13	12	3expia 1267	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (1 = 1 → 0 < 𝐴))
14		neg1rr 11125	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
15		neg1lt0 11127	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 < 0
16		0lt1 10550	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
17		0re 10040	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		1re 10039	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	14, 17, 18	lttri 10163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
20	15, 16, 19	mp2an 708	. . . . . . . 8 ⊢ -1 < 1
21	14, 20	gtneii 10149	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ -1
22	21	nesymi 2851	. . . . . 6 ⊢ ¬ -1 = 1
23	22	pm2.21i 116	. . . . 5 ⊢ (-1 = 1 → 0 < 𝐴)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (-1 = 1 → 0 < 𝐴))
25	1, 3, 5, 7, 11, 13, 24	sgn3da 30603	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴))
26	25	imp 445	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (sgn‘𝐴) = 1) → 0 < 𝐴)
27		sgnp 13830	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
28	26, 27	impbida 877	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  0cc0 9936  1c1 9937  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074  -cneg 10267  sgncsgn 13826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-sgn 13827

This theorem is referenced by:  sgnmulsgp  30612