Theorem gtneii 10149

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 10134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 708	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ℝcr 9935   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  ltneii  10150  fztpval  12402  geo2sum  14604  bpoly4  14790  ene1  14938  3dvds  15052  3dvdsOLD  15053  3lcm2e6  15440  resslem  15933  rescco  16492  oppgtset  17782  mgpsca  18496  mgptset  18497  mgpds  18499  cnfldfun  19758  psgnodpmr  19936  matsca  20221  matvsca  20222  tuslem  22071  setsmsds  22281  tngds  22452  logbrec  24520  log2le1  24677  2lgsoddprmlem3a  25135  2lgsoddprmlem3b  25136  2lgsoddprmlem3c  25137  2lgsoddprmlem3d  25138  konigsberglem2  27115  ex-dif  27280  ex-in  27282  ex-pss  27285  ex-res  27298  dp20u  29585  dp20h  29586  dp2clq  29588  dp2lt10  29591  dp2lt  29592  dplti  29613  dpexpp1  29616  oppgle  29653  resvvsca  29834  zlmds  30008  zlmtset  30009  ballotlemi1  30564  sgnnbi  30607  sgnpbi  30608  signswch  30638  itgexpif  30684  hgt750lemd  30726  hgt750lem  30729  fdc  33541  areaquad  37802  stirlinglem4  40294  stirlinglem13  40303  stirlinglem14  40304  stirlingr  40307  dirker2re  40309  dirkerdenne0  40310  dirkerre  40312  dirkertrigeqlem1  40315  dirkercncflem2  40321  dirkercncflem4  40323  fourierdlem16  40340  fourierdlem21  40345  fourierdlem22  40346  fourierdlem66  40389  fourierdlem83  40406  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  sqwvfoura  40445  sqwvfourb  40446  fourierswlem  40447  fouriersw  40448  etransclem46  40497  fmtnoprmfac2lem1  41478  zlmodzxzldeplem  42287