Theorem submateqlem1 29873

Description: Lemma for submateq 29875. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submateqlem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
submateqlem1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
submateqlem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
submateqlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
submateqlem1	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Proof of Theorem submateqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submateqlem1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)
2		fz1ssnn 12372	. . . . . . 7 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
3		submateqlem1.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
4	2, 3	sseldi 3601	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5	4	nnred 11035	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
6		submateqlem1.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnred 11035	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
8		1red 10055	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9	7, 8	resubcld 10458	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
10		elfzle2 12345	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
11	3, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
12	7	lem1d 10957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
13	5, 9, 7, 11, 12	letrd 10194	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
14	1, 13	jca 554	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
15	4	nnzd 11481	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
16		fz1ssnn 12372	. . . . . 6 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
17		submateqlem1.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
18	16, 17	sseldi 3601	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
19	18	nnzd 11481	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
20	6	nnzd 11481	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
21		elfz 12332	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
22	15, 19, 20, 21	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
23	14, 22	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐾...𝑁))
24	4	nnnn0d 11351	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
25	24	nn0ge0d 11354	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
26		1re 10039	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
27		addge02 10539	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
28	26, 5, 27	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
29	25, 28	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑀 + 1))
30	6	nnnn0d 11351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
31		nn0ltlem1 11437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
32	24, 30, 31	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
33	11, 32	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)
34		nnltp1le 11433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
35	4, 6, 34	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
36	33, 35	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
37	29, 36	jca 554	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
38	15	peano2zd 11485	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
39		1zzd 11408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
40		elfz 12332	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
41	38, 39, 20, 40	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
42	37, 41	mpbird 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
43	18	nnred 11035	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
44		nnleltp1 11432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ 𝐾 < (𝑀 + 1)))
45	18, 4, 44	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ 𝐾 < (𝑀 + 1)))
46	1, 45	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < (𝑀 + 1))
47	43, 46	ltned 10173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ (𝑀 + 1))
48	47	necomd 2849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≠ 𝐾)
49		nelsn 4212	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 1) ≠ 𝐾 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
50	48, 49	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
51	42, 50	eldifd 3585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾}))
52	23, 51	jca 554	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   ∖ cdif 3571  {csn 4177   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  submateq  29875