Theorem supmul 10995

Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that (sup𝐴) · (sup𝐵) = sup(𝐴 · 𝐵), where 𝐴 · 𝐵 is shorthand for {𝑎 · 𝑏 ∣ 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵} and is defined as 𝐶 below. We made use of this in our definition of multiplication in the Dedekind cut construction of the reals (see df-mp 9806). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmul.1	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
supmul.2	⊢ (𝜑 ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
supmul	⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶   𝜑,𝑏,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣,𝑏)

Proof of Theorem supmul

Dummy variables 𝑎 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supmul.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))
2	1	simp2bi 1077	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
3		suprcl 10983	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5	1	simp3bi 1078	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
6		suprcl 10983	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8		recn 10026	. . . . . 6 ⊢ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
9		recn 10026	. . . . . 6 ⊢ (sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℂ)
10		mulcom 10022	. . . . . 6 ⊢ ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )))
11	8, 9, 10	syl2an 494	. . . . 5 ⊢ ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )))
12	4, 7, 11	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )))
13	5	simp2d 1074	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
14		n0 3931	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵)
15	13, 14	sylib 208	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵)
16		0red 10041	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
17	5	simp1d 1073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
18	17	sselda 3603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
19	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
20		simp1r 1086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥)
21	1, 20	sylbi 207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥)
22		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑏))
23	22	rspccv 3306	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥 → (𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 𝑏))
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 𝑏))
25	24	imp 445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
26		suprub 10984	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
27	5, 26	sylan 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
28	16, 18, 19, 25, 27	letrd 10194	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
29	15, 28	exlimddv 1863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
30		simp1l 1085	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥)
31	1, 30	sylbi 207	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥)
32		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} = {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}
33		biid 251	. . . . . 6 ⊢ (((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ↔ ((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)))
34	32, 33	supmul1 10992	. . . . 5 ⊢ (((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ))
35	7, 29, 31, 2, 34	syl31anc 1329	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ))
36	12, 35	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ))
37		vex 3203	. . . . . . 7 ⊢ 𝑤 ∈ V
38		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ↔ 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)))
39	38	rexbidv 3052	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)))
40	37, 39	elab 3350	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
41	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
42	2	simp1d 1073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
43	42	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
44		recn 10026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
45		mulcom 10022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) = (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )))
46	9, 44, 45	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) = (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )))
47	41, 43, 46	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) = (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )))
48		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑎))
49	48	rspccv 3306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 → (𝑎 ∈ 𝐴 → 0 ≤ 𝑎))
50	31, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐴 → 0 ≤ 𝑎))
51	50	imp 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝑎)
52	21	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥)
53	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
54		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} = {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}
55		biid 251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))
56	54, 55	supmul1 10992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ))
57	43, 51, 52, 53, 56	syl31anc 1329	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ))
58		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
59	58	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
60	37, 59	elab 3350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
61		rspe 3003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
62		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑏))
63	62	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
64	63	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
65	64	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
66	58	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
67	65, 66	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
68		supmul.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
69	37, 67, 68	elab2 3354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
70	61, 69	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑤 ∈ 𝐶)
71	70	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ 𝐶))
72	68, 1	supmullem2 10994	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥))
73		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
74	73	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
75	72, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
76	71, 75	sylan9r 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
77	60, 76	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
78	77	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
79	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ)
80	18	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
81	79, 80	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
82		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
84	83	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
85	84	abssdv 3676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ⊆ ℝ)
86		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 · 𝑏) ∈ V
87	86	isseti 3209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
88	87	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
89		r19.2z 4060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
90	13, 88, 89	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
91		rexcom4 3225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
92	90, 91	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
93	59	cbvexv 2275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
94	92, 93	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
95		abn0 3954	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
96	94, 95	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅)
97	96	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅)
98		suprcl 10983	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
99	72, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
101		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = sup(𝐶, ℝ, < ) → (𝑤 ≤ 𝑥 ↔ 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
102	101	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = sup(𝐶, ℝ, < ) → (∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
103	102	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ 𝑥)
104	100, 78, 103	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ 𝑥)
105		suprleub 10989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
106	85, 97, 104, 100, 105	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
107	78, 106	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
108	57, 107	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
109	47, 108	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
110		breq1 4656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → (𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
111	109, 110	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
112	111	rexlimdva 3031	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
113	40, 112	syl5bi 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
114	113	ralrimiv 2965	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
115	41, 43	remulcld 10070	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ∈ ℝ)
116		eleq1a 2696	. . . . . . . 8 ⊢ ((sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ∈ ℝ → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
117	115, 116	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
118	117	rexlimdva 3031	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
119	118	abssdv 3676	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ⊆ ℝ)
120	2	simp2d 1074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
121		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ∈ V
122	121	isseti 3209	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)
123	122	rgenw 2924	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)
124		r19.2z 4060	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
125	120, 123, 124	sylancl 694	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
126		rexcom4 3225	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ↔ ∃𝑧∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
127	125, 126	sylib 208	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
128		abn0 3954	. . . . . 6 ⊢ ({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
129	127, 128	sylibr 224	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ≠ ∅)
130	101	ralbidv 2986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = sup(𝐶, ℝ, < ) → (∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
131	130	rspcev 3309	. . . . . 6 ⊢ ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ 𝑥)
132	99, 114, 131	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ 𝑥)
133		suprleub 10989	. . . . 5 ⊢ ((({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
134	119, 129, 132, 99, 133	syl31anc 1329	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
135	114, 134	mpbird 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
136	36, 135	eqbrtrd 4675	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
137	68, 1	supmullem1 10993	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
138	4, 7	remulcld 10070	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
139		suprleub 10989	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
140	72, 138, 139	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
141	137, 140	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
142	138, 99	letri3d 10179	. 2 ⊢ (𝜑 → ((sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ((sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))))
143	136, 141, 142	mpbir2and 957	1 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990  {cab 2608   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  supcsup 8346  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685

This theorem is referenced by:  sqrlem5  13987