Theorem supmul 10995

Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that ( sup A ) x. ( sup B ) = sup ( A x. B ), where A x. B is shorthand for { a x. b | a e. A , b e. B } and is defined as C below. We made use of this in our definition of multiplication in the Dedekind cut construction of the reals (see df-mp 9806). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmul.1	|- C = { z | E. v e. A E. b e. B z = ( v x. b ) }
supmul.2	|- ( ph <-> ( ( A. x e. A 0 <_ x /\ A. x e. B 0 <_ x ) /\ ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
supmul	|- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) = sup ( C , RR , < ) )

Distinct variable groups:   A, b, v, x, y, z   B, b, v, x, y, z   x, C   ph, b, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, v)   C( y, z, v, b)

Proof of Theorem supmul

Dummy variables a w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supmul.2	. . . . . . 7 |- ( ph <-> ( ( A. x e. A 0 <_ x /\ A. x e. B 0 <_ x ) /\ ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) ) )
2	1	simp2bi 1077	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) )
3		suprcl 10983	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
5	1	simp3bi 1078	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) )
6		suprcl 10983	. . . . . 6 |- ( ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) -> sup ( B , RR , < ) e. RR )
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( B , RR , < ) e. RR )
8		recn 10026	. . . . . 6 |- ( sup ( A , RR , < ) e. RR -> sup ( A , RR , < ) e. CC )
9		recn 10026	. . . . . 6 |- ( sup ( B , RR , < ) e. RR -> sup ( B , RR , < ) e. CC )
10		mulcom 10022	. . . . . 6 |- ( ( sup ( A , RR , < ) e. CC /\ sup ( B , RR , < ) e. CC ) -> ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) = ( sup ( B , RR , < ) x. sup ( A , RR , < ) ) )
11	8, 9, 10	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( sup ( A , RR , < ) e. RR /\ sup ( B , RR , < ) e. RR ) -> ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) = ( sup ( B , RR , < ) x. sup ( A , RR , < ) ) )
12	4, 7, 11	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) = ( sup ( B , RR , < ) x. sup ( A , RR , < ) ) )
13	5	simp2d 1074	. . . . . . 7 |- ( ph -> B =/= (/) )
14		n0 3931	. . . . . . 7 |- ( B =/= (/) <-> E. b b e. B )
15	13, 14	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> E. b b e. B )
16		0red 10041	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> 0 e. RR )
17	5	simp1d 1073	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B C_ RR )
18	17	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b e. RR )
19	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> sup ( B , RR , < ) e. RR )
20		simp1r 1086	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x e. A 0 <_ x /\ A. x e. B 0 <_ x ) /\ ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) ) -> A. x e. B 0 <_ x )
21	1, 20	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. B 0 <_ x )
22		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = b -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ b ) )
23	22	rspccv 3306	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. B 0 <_ x -> ( b e. B -> 0 <_ b ) )
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( b e. B -> 0 <_ b ) )
25	24	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> 0 <_ b )
26		suprub 10984	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) /\ b e. B ) -> b <_ sup ( B , RR , < ) )
27	5, 26	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b <_ sup ( B , RR , < ) )
28	16, 18, 19, 25, 27	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> 0 <_ sup ( B , RR , < ) )
29	15, 28	exlimddv 1863	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ sup ( B , RR , < ) )
30		simp1l 1085	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. A 0 <_ x /\ A. x e. B 0 <_ x ) /\ ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) ) -> A. x e. A 0 <_ x )
31	1, 30	sylbi 207	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. A 0 <_ x )
32		eqid 2622	. . . . . 6 |- { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) } = { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) }
33		biid 251	. . . . . 6 |- ( ( ( sup ( B , RR , < ) e. RR /\ 0 <_ sup ( B , RR , < ) /\ A. x e. A 0 <_ x ) /\ ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) ) <-> ( ( sup ( B , RR , < ) e. RR /\ 0 <_ sup ( B , RR , < ) /\ A. x e. A 0 <_ x ) /\ ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) ) )
34	32, 33	supmul1 10992	. . . . 5 |- ( ( ( sup ( B , RR , < ) e. RR /\ 0 <_ sup ( B , RR , < ) /\ A. x e. A 0 <_ x ) /\ ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) ) -> ( sup ( B , RR , < ) x. sup ( A , RR , < ) ) = sup ( { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) } , RR , < ) )
35	7, 29, 31, 2, 34	syl31anc 1329	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( B , RR , < ) x. sup ( A , RR , < ) ) = sup ( { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) } , RR , < ) )
36	12, 35	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) = sup ( { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) } , RR , < ) )
37		vex 3203	. . . . . . 7 |- w e. _V
38		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) <-> w = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) ) )
39	38	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( z = w -> ( E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) <-> E. a e. A w = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) ) )
40	37, 39	elab 3350	. . . . . 6 |- ( w e. { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) } <-> E. a e. A w = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) )
41	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> sup ( B , RR , < ) e. RR )
42	2	simp1d 1073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ RR )
43	42	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. RR )
44		recn 10026	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. RR -> a e. CC )
45		mulcom 10022	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( sup ( B , RR , < ) e. CC /\ a e. CC ) -> ( sup ( B , RR , < ) x. a ) = ( a x. sup ( B , RR , < ) ) )
46	9, 44, 45	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sup ( B , RR , < ) e. RR /\ a e. RR ) -> ( sup ( B , RR , < ) x. a ) = ( a x. sup ( B , RR , < ) ) )
47	41, 43, 46	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( sup ( B , RR , < ) x. a ) = ( a x. sup ( B , RR , < ) ) )
48		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ a ) )
49	48	rspccv 3306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. A 0 <_ x -> ( a e. A -> 0 <_ a ) )
50	31, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( a e. A -> 0 <_ a ) )
51	50	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> 0 <_ a )
52	21	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> A. x e. B 0 <_ x )
53	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) )
54		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- { z | E. b e. B z = ( a x. b ) } = { z | E. b e. B z = ( a x. b ) }
55		biid 251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. RR /\ 0 <_ a /\ A. x e. B 0 <_ x ) /\ ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) ) <-> ( ( a e. RR /\ 0 <_ a /\ A. x e. B 0 <_ x ) /\ ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) ) )
56	54, 55	supmul1 10992	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. RR /\ 0 <_ a /\ A. x e. B 0 <_ x ) /\ ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) ) -> ( a x. sup ( B , RR , < ) ) = sup ( { z | E. b e. B z = ( a x. b ) } , RR , < ) )
57	43, 51, 52, 53, 56	syl31anc 1329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( a x. sup ( B , RR , < ) ) = sup ( { z | E. b e. B z = ( a x. b ) } , RR , < ) )
58		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = w -> ( z = ( a x. b ) <-> w = ( a x. b ) ) )
59	58	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = w -> ( E. b e. B z = ( a x. b ) <-> E. b e. B w = ( a x. b ) ) )
60	37, 59	elab 3350	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. { z | E. b e. B z = ( a x. b ) } <-> E. b e. B w = ( a x. b ) )
61		rspe 3003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. A /\ E. b e. B w = ( a x. b ) ) -> E. a e. A E. b e. B w = ( a x. b ) )
62		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = a -> ( v x. b ) = ( a x. b ) )
63	62	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v = a -> ( z = ( v x. b ) <-> z = ( a x. b ) ) )
64	63	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = a -> ( E. b e. B z = ( v x. b ) <-> E. b e. B z = ( a x. b ) ) )
65	64	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. v e. A E. b e. B z = ( v x. b ) <-> E. a e. A E. b e. B z = ( a x. b ) )
66	58	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = w -> ( E. a e. A E. b e. B z = ( a x. b ) <-> E. a e. A E. b e. B w = ( a x. b ) ) )
67	65, 66	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = w -> ( E. v e. A E. b e. B z = ( v x. b ) <-> E. a e. A E. b e. B w = ( a x. b ) ) )
68		supmul.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- C = { z | E. v e. A E. b e. B z = ( v x. b ) }
69	37, 67, 68	elab2 3354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. C <-> E. a e. A E. b e. B w = ( a x. b ) )
70	61, 69	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. A /\ E. b e. B w = ( a x. b ) ) -> w e. C )
71	70	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. A -> ( E. b e. B w = ( a x. b ) -> w e. C ) )
72	68, 1	supmullem2 10994	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( C C_ RR /\ C =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. C w <_ x ) )
73		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( C C_ RR /\ C =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. C w <_ x ) /\ w e. C ) -> w <_ sup ( C , RR , < ) )
74	73	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C C_ RR /\ C =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. C w <_ x ) -> ( w e. C -> w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
75	72, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( w e. C -> w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
76	71, 75	sylan9r 690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( E. b e. B w = ( a x. b ) -> w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
77	60, 76	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( w e. { z | E. b e. B z = ( a x. b ) } -> w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
78	77	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> A. w e. { z | E. b e. B z = ( a x. b ) } w <_ sup ( C , RR , < ) )
79	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ b e. B ) -> a e. RR )
80	18	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ b e. B ) -> b e. RR )
81	79, 80	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ b e. B ) -> ( a x. b ) e. RR )
82		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a x. b ) e. RR -> ( z = ( a x. b ) -> z e. RR ) )
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ b e. B ) -> ( z = ( a x. b ) -> z e. RR ) )
84	83	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( E. b e. B z = ( a x. b ) -> z e. RR ) )
85	84	abssdv 3676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> { z | E. b e. B z = ( a x. b ) } C_ RR )
86		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a x. b ) e. _V
87	86	isseti 3209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- E. w w = ( a x. b )
88	87	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- A. b e. B E. w w = ( a x. b )
89		r19.2z 4060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B =/= (/) /\ A. b e. B E. w w = ( a x. b ) ) -> E. b e. B E. w w = ( a x. b ) )
90	13, 88, 89	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E. b e. B E. w w = ( a x. b ) )
91		rexcom4 3225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. b e. B E. w w = ( a x. b ) <-> E. w E. b e. B w = ( a x. b ) )
92	90, 91	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> E. w E. b e. B w = ( a x. b ) )
93	59	cbvexv 2275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. z E. b e. B z = ( a x. b ) <-> E. w E. b e. B w = ( a x. b ) )
94	92, 93	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> E. z E. b e. B z = ( a x. b ) )
95		abn0 3954	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { z | E. b e. B z = ( a x. b ) } =/= (/) <-> E. z E. b e. B z = ( a x. b ) )
96	94, 95	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> { z | E. b e. B z = ( a x. b ) } =/= (/) )
97	96	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> { z | E. b e. B z = ( a x. b ) } =/= (/) )
98		suprcl 10983	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C C_ RR /\ C =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. C w <_ x ) -> sup ( C , RR , < ) e. RR )
99	72, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sup ( C , RR , < ) e. RR )
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> sup ( C , RR , < ) e. RR )
101		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = sup ( C , RR , < ) -> ( w <_ x <-> w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
102	101	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = sup ( C , RR , < ) -> ( A. w e. { z | E. b e. B z = ( a x. b ) } w <_ x <-> A. w e. { z | E. b e. B z = ( a x. b ) } w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
103	102	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( sup ( C , RR , < ) e. RR /\ A. w e. { z | E. b e. B z = ( a x. b ) } w <_ sup ( C , RR , < ) ) -> E. x e. RR A. w e. { z | E. b e. B z = ( a x. b ) } w <_ x )
104	100, 78, 103	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> E. x e. RR A. w e. { z | E. b e. B z = ( a x. b ) } w <_ x )
105		suprleub 10989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( { z | E. b e. B z = ( a x. b ) } C_ RR /\ { z | E. b e. B z = ( a x. b ) } =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. { z | E. b e. B z = ( a x. b ) } w <_ x ) /\ sup ( C , RR , < ) e. RR ) -> ( sup ( { z | E. b e. B z = ( a x. b ) } , RR , < ) <_ sup ( C , RR , < ) <-> A. w e. { z | E. b e. B z = ( a x. b ) } w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
106	85, 97, 104, 100, 105	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( sup ( { z | E. b e. B z = ( a x. b ) } , RR , < ) <_ sup ( C , RR , < ) <-> A. w e. { z | E. b e. B z = ( a x. b ) } w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
107	78, 106	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> sup ( { z | E. b e. B z = ( a x. b ) } , RR , < ) <_ sup ( C , RR , < ) )
108	57, 107	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( a x. sup ( B , RR , < ) ) <_ sup ( C , RR , < ) )
109	47, 108	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( sup ( B , RR , < ) x. a ) <_ sup ( C , RR , < ) )
110		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( w = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) -> ( w <_ sup ( C , RR , < ) <-> ( sup ( B , RR , < ) x. a ) <_ sup ( C , RR , < ) ) )
111	109, 110	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( w = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) -> w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
112	111	rexlimdva 3031	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. a e. A w = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) -> w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
113	40, 112	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ph -> ( w e. { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) } -> w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
114	113	ralrimiv 2965	. . . 4 |- ( ph -> A. w e. { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) } w <_ sup ( C , RR , < ) )
115	41, 43	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( sup ( B , RR , < ) x. a ) e. RR )
116		eleq1a 2696	. . . . . . . 8 |- ( ( sup ( B , RR , < ) x. a ) e. RR -> ( z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) -> z e. RR ) )
117	115, 116	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) -> z e. RR ) )
118	117	rexlimdva 3031	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) -> z e. RR ) )
119	118	abssdv 3676	. . . . 5 |- ( ph -> { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) } C_ RR )
120	2	simp2d 1074	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A =/= (/) )
121		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( sup ( B , RR , < ) x. a ) e. _V
122	121	isseti 3209	. . . . . . . . 9 |- E. z z = ( sup ( B , RR , < ) x. a )
123	122	rgenw 2924	. . . . . . . 8 |- A. a e. A E. z z = ( sup ( B , RR , < ) x. a )
124		r19.2z 4060	. . . . . . . 8 |- ( ( A =/= (/) /\ A. a e. A E. z z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) ) -> E. a e. A E. z z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) )
125	120, 123, 124	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. a e. A E. z z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) )
126		rexcom4 3225	. . . . . . 7 |- ( E. a e. A E. z z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) <-> E. z E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) )
127	125, 126	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> E. z E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) )
128		abn0 3954	. . . . . 6 |- ( { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) } =/= (/) <-> E. z E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) )
129	127, 128	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) } =/= (/) )
130	101	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( x = sup ( C , RR , < ) -> ( A. w e. { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) } w <_ x <-> A. w e. { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) } w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
131	130	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( sup ( C , RR , < ) e. RR /\ A. w e. { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) } w <_ sup ( C , RR , < ) ) -> E. x e. RR A. w e. { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) } w <_ x )
132	99, 114, 131	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. RR A. w e. { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) } w <_ x )
133		suprleub 10989	. . . . 5 |- ( ( ( { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) } C_ RR /\ { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) } =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) } w <_ x ) /\ sup ( C , RR , < ) e. RR ) -> ( sup ( { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) } , RR , < ) <_ sup ( C , RR , < ) <-> A. w e. { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) } w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
134	119, 129, 132, 99, 133	syl31anc 1329	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) } , RR , < ) <_ sup ( C , RR , < ) <-> A. w e. { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) } w <_ sup ( C , RR , < ) ) )
135	114, 134	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> sup ( { z | E. a e. A z = ( sup ( B , RR , < ) x. a ) } , RR , < ) <_ sup ( C , RR , < ) )
136	36, 135	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) <_ sup ( C , RR , < ) )
137	68, 1	supmullem1 10993	. . 3 |- ( ph -> A. w e. C w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) )
138	4, 7	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) e. RR )
139		suprleub 10989	. . . 4 |- ( ( ( C C_ RR /\ C =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. C w <_ x ) /\ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) e. RR ) -> ( sup ( C , RR , < ) <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) <-> A. w e. C w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) )
140	72, 138, 139	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( C , RR , < ) <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) <-> A. w e. C w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) )
141	137, 140	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> sup ( C , RR , < ) <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) )
142	138, 99	letri3d 10179	. 2 |- ( ph -> ( ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) = sup ( C , RR , < ) <-> ( ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) <_ sup ( C , RR , < ) /\ sup ( C , RR , < ) <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) ) )
143	136, 141, 142	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) = sup ( C , RR , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685

This theorem is referenced by:  sqrlem5  13987