Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | vex 3203 |
. . . . . . . 8
⊢ 𝑤 ∈ V |
2 | | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑣 = 𝑏 → (𝐴 · 𝑣) = (𝐴 · 𝑏)) |
3 | 2 | eqeq2d 2632 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑣 = 𝑏 → (𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ 𝑧 = (𝐴 · 𝑏))) |
4 | 3 | cbvrexv 3172 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑣 ∈
𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑏)) |
5 | | eqeq1 2626 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝐴 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) |
6 | 5 | rexbidv 3052 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) |
7 | 4, 6 | syl5bb 272 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) |
8 | | supmul1.1 |
. . . . . . . 8
⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣)} |
9 | 1, 7, 8 | elab2 3354 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) |
10 | | supmul1.2 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))) |
11 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) |
12 | 10, 11 | sylbi 207 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) |
13 | 12 | simp1d 1073 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ) |
14 | 13 | sselda 3603 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ) |
15 | | suprcl 10983 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
16 | 12, 15 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
17 | 16 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
18 | | simpl1 1064 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → 𝐴 ∈ ℝ) |
19 | 10, 18 | sylbi 207 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
20 | | simpl2 1065 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐴) |
21 | 10, 20 | sylbi 207 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴) |
22 | 19, 21 | jca 554 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) |
23 | 22 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) |
24 | | suprub 10984 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )) |
25 | 12, 24 | sylan 488 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )) |
26 | | lemul2a 10878 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑏 ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ
∧ (𝐴 ∈ ℝ
∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧
𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )) → (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) |
27 | 14, 17, 23, 25, 26 | syl31anc 1329 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) |
28 | | breq1 4656 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))) |
29 | 27, 28 | syl5ibrcom 237 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))) |
30 | 29 | rexlimdva 3031 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))) |
31 | 9, 30 | syl5bi 232 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))) |
32 | 31 | ralrimiv 2965 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) |
33 | 19 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ) |
34 | 33, 14 | remulcld 10070 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ) |
35 | | eleq1a 2696 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ)) |
36 | 34, 35 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ)) |
37 | 36 | rexlimdva 3031 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ)) |
38 | 9, 37 | syl5bi 232 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ ℝ)) |
39 | 38 | ssrdv 3609 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℝ) |
40 | | simpr2 1068 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≠ ∅) |
41 | 10, 40 | sylbi 207 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅) |
42 | | ovex 6678 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 · 𝑏) ∈ V |
43 | 42 | isseti 3209 |
. . . . . . . . . 10
⊢
∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) |
44 | 43 | rgenw 2924 |
. . . . . . . . 9
⊢
∀𝑏 ∈
𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) |
45 | | r19.2z 4060 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧
∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) |
46 | 41, 44, 45 | sylancl 694 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) |
47 | 9 | exbii 1774 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) |
48 | | n0 3931 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔
∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶) |
49 | | rexcom4 3225 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑏 ∈
𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) ↔ ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) |
50 | 47, 48, 49 | 3bitr4i 292 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔
∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) |
51 | 46, 50 | sylibr 224 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ ∅) |
52 | 19, 16 | remulcld 10070 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈
ℝ) |
53 | | breq2 4657 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) → (𝑤 ≤ 𝑥 ↔ 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))) |
54 | 53 | ralbidv 2986 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) → (∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))) |
55 | 54 | rspcev 3309 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧
∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) |
56 | 52, 32, 55 | syl2anc 693 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) |
57 | 39, 51, 56 | 3jca 1242 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥)) |
58 | | suprleub 10989 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) →
(sup(𝐶, ℝ, < )
≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔
∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))) |
59 | 57, 52, 58 | syl2anc 693 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))) |
60 | 32, 59 | mpbird 247 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) |
61 | | simpr 477 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) |
62 | | suprcl 10983 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
63 | 57, 62 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
64 | 63 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
65 | 16 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
66 | 19 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 𝐴 ∈ ℝ) |
67 | | n0 3931 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔
∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵) |
68 | | 0red 10041 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℝ) |
69 | | simpl3 1066 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) |
70 | 10, 69 | sylbi 207 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) |
71 | | breq2 4657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝑏 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑏)) |
72 | 71 | rspccva 3308 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((∀𝑥 ∈
𝐵 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑏) |
73 | 70, 72 | sylan 488 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑏) |
74 | 68, 14, 17, 73, 25 | letrd 10194 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )) |
75 | 74 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))) |
76 | 75 | exlimdv 1861 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))) |
77 | 67, 76 | syl5bi 232 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ ∅ → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, <
))) |
78 | 41, 77 | mpd 15 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, <
)) |
79 | 78 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, <
)) |
80 | | 0red 10041 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 0 ∈ ℝ) |
81 | 38 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ∈ ℝ) |
82 | 63 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
83 | 21 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝐴) |
84 | 33, 14, 83, 73 | mulge0d 10604 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝑏)) |
85 | | breq2 4657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (0 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ (𝐴 · 𝑏))) |
86 | 84, 85 | syl5ibrcom 237 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 0 ≤ 𝑤)) |
87 | 86 | rexlimdva 3031 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 0 ≤ 𝑤)) |
88 | 9, 87 | syl5bi 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 0 ≤ 𝑤)) |
89 | 88 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 0 ≤ 𝑤) |
90 | | suprub 10984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) |
91 | 57, 90 | sylan 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) |
92 | 80, 81, 82, 89, 91 | letrd 10194 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) |
93 | 92 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))) |
94 | 93 | exlimdv 1861 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))) |
95 | 48, 94 | syl5bi 232 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐶 ≠ ∅ → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, <
))) |
96 | 51, 95 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, <
)) |
97 | 96 | anim1i 592 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧
sup(𝐶, ℝ, < ) <
(𝐴 · sup(𝐵, ℝ, <
)))) |
98 | | 0red 10041 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) |
99 | | lelttr 10128 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ sup(𝐶,
ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) →
((0 ≤ sup(𝐶, ℝ,
< ) ∧ sup(𝐶,
ℝ, < ) < (𝐴
· sup(𝐵, ℝ,
< ))) → 0 < (𝐴
· sup(𝐵, ℝ,
< )))) |
100 | 98, 63, 52, 99 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧
sup(𝐶, ℝ, < ) <
(𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0
< (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, <
)))) |
101 | 100 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((0 ≤
sup(𝐶, ℝ, < )
∧ sup(𝐶, ℝ, <
) < (𝐴 ·
sup(𝐵, ℝ, < )))
→ 0 < (𝐴 ·
sup(𝐵, ℝ, <
)))) |
102 | 97, 101 | mpd 15 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) |
103 | | prodgt02 10869 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈
ℝ) ∧ (0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))) → 0 < 𝐴) |
104 | 66, 65, 79, 102, 103 | syl22anc 1327 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < 𝐴) |
105 | | ltdivmul 10898 |
. . . . . . . 8
⊢
((sup(𝐶, ℝ,
< ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧
(𝐴 ∈ ℝ ∧ 0
< 𝐴)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))) |
106 | 64, 65, 66, 104, 105 | syl112anc 1330 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))) |
107 | 61, 106 | mpbird 247 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < )) |
108 | 12 | adantr 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) |
109 | 104 | gt0ne0d 10592 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 𝐴 ≠ 0) |
110 | 64, 66, 109 | redivcld 10853 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) ∈
ℝ) |
111 | | suprlub 10987 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) ∈ ℝ) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)) |
112 | 108, 110,
111 | syl2anc 693 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)) |
113 | 107, 112 | mpbid 222 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏) |
114 | | rspe 3003 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) |
115 | 114, 9 | sylibr 224 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → 𝑤 ∈ 𝐶) |
116 | 115 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) → 𝑤 ∈ 𝐶) |
117 | | simplrr 801 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) |
118 | 91 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) |
119 | 117, 118 | eqbrtrrd 4677 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) |
120 | 116, 119 | mpdan 702 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) |
121 | 120 | expr 643 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))) |
122 | 121 | exlimdv 1861 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))) |
123 | 43, 122 | mpi 20 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) |
124 | 123 | adantlr 751 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) |
125 | 34 | adantlr 751 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ) |
126 | 63 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
127 | 125, 126 | lenltd 10183 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏))) |
128 | 124, 127 | mpbid 222 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏)) |
129 | 14 | adantlr 751 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ) |
130 | 19 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ) |
131 | 104 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 < 𝐴) |
132 | | ltdivmul 10898 |
. . . . . . . 8
⊢
((sup(𝐶, ℝ,
< ) ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏))) |
133 | 126, 129,
130, 131, 132 | syl112anc 1330 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏))) |
134 | 128, 133 | mtbird 315 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ¬ (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏) |
135 | 134 | nrexdv 3001 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ¬
∃𝑏 ∈ 𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏) |
136 | 113, 135 | pm2.65da 600 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) |
137 | 60, 136 | jca 554 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))) |
138 | 63, 52 | eqleltd 10181 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))) |
139 | 137, 138 | mpbird 247 |
. 2
⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) |
140 | 139 | eqcomd 2628 |
1
⊢ (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < )) |