Theorem usgrexmpldifpr 26150

Description: Lemma for usgrexmpledg 26154: all "edges" are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpldifpr	⊢ (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3}))

Proof of Theorem usgrexmpldifpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11388	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		1z 11407	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
3	1, 2	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)
4		2z 11409	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
5	2, 4	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
6	3, 5	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
7		ax-1ne0 10005	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
8	7	necomi 2848	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
9		2ne0 11113	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
10	9	necomi 2848	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 2
11	8, 10	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2)
12	11	orci 405	. . . 4 ⊢ ((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (1 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 2))
13		prneimg 4388	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)) → (((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (1 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 2)) → {0, 1} ≠ {1, 2}))
14	6, 12, 13	mp2 9	. . 3 ⊢ {0, 1} ≠ {1, 2}
15	4, 1	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)
16	3, 15	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ))
17		1ne2 11240	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
18	17, 7	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0)
19	18	olci 406	. . . 4 ⊢ ((0 ≠ 2 ∧ 0 ≠ 0) ∨ (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0))
20		prneimg 4388	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)) → (((0 ≠ 2 ∧ 0 ≠ 0) ∨ (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0)) → {0, 1} ≠ {2, 0}))
21	16, 19, 20	mp2 9	. . 3 ⊢ {0, 1} ≠ {2, 0}
22		3nn 11186	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
23	1, 22	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)
24	3, 23	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ))
25		1re 10039	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		1lt3 11196	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 3
27	25, 26	ltneii 10150	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 3
28	7, 27	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3)
29	28	olci 406	. . . 4 ⊢ ((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3))
30		prneimg 4388	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)) → (((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3)) → {0, 1} ≠ {0, 3}))
31	24, 29, 30	mp2 9	. . 3 ⊢ {0, 1} ≠ {0, 3}
32	14, 21, 31	3pm3.2i 1239	. 2 ⊢ ({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3})
33	5, 15	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ))
34	18	orci 405	. . . 4 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0) ∨ (2 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 0))
35		prneimg 4388	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)) → (((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0) ∨ (2 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 0)) → {1, 2} ≠ {2, 0}))
36	33, 34, 35	mp2 9	. . 3 ⊢ {1, 2} ≠ {2, 0}
37	5, 23	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ))
38	28	orci 405	. . . 4 ⊢ ((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3))
39		prneimg 4388	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)) → (((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)) → {1, 2} ≠ {0, 3}))
40	37, 38, 39	mp2 9	. . 3 ⊢ {1, 2} ≠ {0, 3}
41	15, 23	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ))
42		2re 11090	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
43		2lt3 11195	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 3
44	42, 43	ltneii 10150	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 3
45	9, 44	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)
46	45	orci 405	. . . 4 ⊢ ((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3) ∨ (0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3))
47		prneimg 4388	. . . 4 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)) → (((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3) ∨ (0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3)) → {2, 0} ≠ {0, 3}))
48	41, 46, 47	mp2 9	. . 3 ⊢ {2, 0} ≠ {0, 3}
49	36, 40, 48	3pm3.2i 1239	. 2 ⊢ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3})
50	32, 49	pm3.2i 471	1 ⊢ (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3}))

Syntax hints:   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  {cpr 4179  0cc0 9936  1c1 9937  ℕcn 11020  2c2 11070  3c3 11071  ℤcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-z 11378

This theorem is referenced by:  usgrexmplef  26151  usgrexmpledg  26154