Theorem dif1en 6364

Description: If a set A is equinumerous to the successor of a natural number M, then A with an element removed is equinumerous to M. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dif1en	|- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> ( A \ { X } ) ~~ M )

Proof of Theorem dif1en

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 939	. . . 4 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> A ~~ suc M )
2	1	ensymd 6286	. . 3 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> suc M ~~ A )
3		bren 6251	. . 3 |- ( suc M ~~ A <-> E. f f : suc M -1-1-onto-> A )
4	2, 3	sylib 120	. 2 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> E. f f : suc M -1-1-onto-> A )
5		peano2 4336	. . . . . . . 8 |- ( M e. om -> suc M e. om )
6		nnfi 6357	. . . . . . . 8 |- ( suc M e. om -> suc M e. Fin )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . 7 |- ( M e. om -> suc M e. Fin )
8	7	3ad2ant1 959	. . . . . 6 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> suc M e. Fin )
9		enfii 6359	. . . . . 6 |- ( ( suc M e. Fin /\ A ~~ suc M ) -> A e. Fin )
10	8, 1, 9	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> A e. Fin )
11	10	adantr 270	. . . 4 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> A e. Fin )
12		simpl3 943	. . . 4 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> X e. A )
13		f1of 5146	. . . . . 6 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> f : suc M --> A )
14	13	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> f : suc M --> A )
15		sucidg 4171	. . . . . . 7 |- ( M e. om -> M e. suc M )
16	15	3ad2ant1 959	. . . . . 6 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> M e. suc M )
17	16	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> M e. suc M )
18	14, 17	ffvelrnd 5324	. . . 4 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f ` M ) e. A )
19		fidifsnen 6355	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ ( f ` M ) e. A ) -> ( A \ { X } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
20	11, 12, 18, 19	syl3anc 1169	. . 3 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( A \ { X } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
21		nnord 4352	. . . . . . . 8 |- ( M e. om -> Ord M )
22		orddif 4290	. . . . . . . 8 |- ( Ord M -> M = ( suc M \ { M } ) )
23	21, 22	syl 14	. . . . . . 7 |- ( M e. om -> M = ( suc M \ { M } ) )
24	23	3ad2ant1 959	. . . . . 6 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> M = ( suc M \ { M } ) )
25	24	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> M = ( suc M \ { M } ) )
26	23	eleq1d 2147	. . . . . . . . 9 |- ( M e. om -> ( M e. om <-> ( suc M \ { M } ) e. om ) )
27	26	ibi 174	. . . . . . . 8 |- ( M e. om -> ( suc M \ { M } ) e. om )
28	27	3ad2ant1 959	. . . . . . 7 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> ( suc M \ { M } ) e. om )
29	28	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( suc M \ { M } ) e. om )
30		dff1o2 5151	. . . . . . . . 9 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A <-> ( f Fn suc M /\ Fun `' f /\ ran f = A ) )
31	30	simp2bi 954	. . . . . . . 8 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> Fun `' f )
32	31	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> Fun `' f )
33		f1ofo 5153	. . . . . . . . 9 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> f : suc M -onto-> A )
34	33	adantl 271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> f : suc M -onto-> A )
35		f1orel 5149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> Rel f )
36	35	adantl 271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> Rel f )
37		resdm 4667	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel f -> ( f |` dom f ) = f )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` dom f ) = f )
39		f1odm 5150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> dom f = suc M )
40	39	reseq2d 4630	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> ( f |` dom f ) = ( f |` suc M ) )
41	40	adantl 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` dom f ) = ( f |` suc M ) )
42	38, 41	eqtr3d 2115	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> f = ( f |` suc M ) )
43		foeq1 5122	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( f |` suc M ) -> ( f : suc M -onto-> A <-> ( f |` suc M ) : suc M -onto-> A ) )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f : suc M -onto-> A <-> ( f |` suc M ) : suc M -onto-> A ) )
45	34, 44	mpbid 145	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` suc M ) : suc M -onto-> A )
46		simpl1 941	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> M e. om )
47		f1osng 5187	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. om /\ ( f ` M ) e. A ) -> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -1-1-onto-> { ( f ` M ) } )
48	46, 18, 47	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -1-1-onto-> { ( f ` M ) } )
49		f1ofo 5153	. . . . . . . . 9 |- ( { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -1-1-onto-> { ( f ` M ) } -> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -onto-> { ( f ` M ) } )
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -onto-> { ( f ` M ) } )
51		f1ofn 5147	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> f Fn suc M )
52	51	adantl 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> f Fn suc M )
53		fnressn 5370	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f Fn suc M /\ M e. suc M ) -> ( f |` { M } ) = { <. M , ( f ` M ) >. } )
54	52, 17, 53	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` { M } ) = { <. M , ( f ` M ) >. } )
55		foeq1 5122	. . . . . . . . 9 |- ( ( f |` { M } ) = { <. M , ( f ` M ) >. } -> ( ( f |` { M } ) : { M } -onto-> { ( f ` M ) } <-> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -onto-> { ( f ` M ) } ) )
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( ( f |` { M } ) : { M } -onto-> { ( f ` M ) } <-> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -onto-> { ( f ` M ) } ) )
57	50, 56	mpbird 165	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` { M } ) : { M } -onto-> { ( f ` M ) } )
58		resdif 5168	. . . . . . 7 |- ( ( Fun `' f /\ ( f |` suc M ) : suc M -onto-> A /\ ( f |` { M } ) : { M } -onto-> { ( f ` M ) } ) -> ( f |` ( suc M \ { M } ) ) : ( suc M \ { M } ) -1-1-onto-> ( A \ { ( f ` M ) } ) )
59	32, 45, 57, 58	syl3anc 1169	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` ( suc M \ { M } ) ) : ( suc M \ { M } ) -1-1-onto-> ( A \ { ( f ` M ) } ) )
60		f1oeng 6260	. . . . . 6 |- ( ( ( suc M \ { M } ) e. om /\ ( f |` ( suc M \ { M } ) ) : ( suc M \ { M } ) -1-1-onto-> ( A \ { ( f ` M ) } ) ) -> ( suc M \ { M } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
61	29, 59, 60	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( suc M \ { M } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
62	25, 61	eqbrtrd 3805	. . . 4 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> M ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
63	62	ensymd 6286	. . 3 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( A \ { ( f ` M ) } ) ~~ M )
64		entr 6287	. . 3 |- ( ( ( A \ { X } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) /\ ( A \ { ( f ` M ) } ) ~~ M ) -> ( A \ { X } ) ~~ M )
65	20, 63, 64	syl2anc 403	. 2 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( A \ { X } ) ~~ M )
66	4, 65	exlimddv 1819	1 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> ( A \ { X } ) ~~ M )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   \ cdif 2970   {csn 3398   <.cop 3401   class class class wbr 3785   Ord word 4117   suc csuc 4120   omcom 4331   `'ccnv 4362   dom cdm 4363   ran crn 4364   |` cres 4365   Rel wrel 4368   Fun wfun 4916   Fn wfn 4917   -->wf 4918   -onto->wfo 4920   -1-1-onto->wf1o 4921   ` cfv 4922   ~~ cen 6242   Fincfn 6244

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-er 6129  df-en 6245  df-fin 6247

This theorem is referenced by:  findcard  6372  findcard2  6373  findcard2s  6374  diffisn  6377