Theorem lelttrd 7234

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lelttrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
lelttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		lelttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lelttr 7199	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1169	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 423	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1433   class class class wbr 3785   RRcr 6980   < clt 7153   <_ cle 7154

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-pre-ltwlin 7089

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-cnv 4371  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159

This theorem is referenced by:  lt2msq1  7963  ledivp1  7981  suprzclex  8445  ge0p1rp  8765  elfzolt3  9166  qbtwnz  9260  btwnzge0  9302  flltdivnn0lt  9306  modqid  9351  mulqaddmodid  9366  modqsubdir  9395  nn0opthlem2d  9648  bcp1nk  9689  resqrexlemover  9896  resqrexlemnm  9904  resqrexlemcvg  9905  resqrexlemglsq  9908  resqrexlemga  9909  abslt  9974  abs3lem  9997  fzomaxdiflem  9998  icodiamlt  10066  maxltsup  10104  dvdslelemd  10243  sqrt2irrap  10558  qdencn  10785