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Theorem resqrexlemover 9896

Description: Lemma for resqrex 9912. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemover	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem resqrexlemover Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5198	. . . . . 6
2	1	oveq1d 5547	. . . . 5
3	2	breq2d 3797	. . . 4
4	3	imbi2d 228	. . 3
5		fveq2 5198	. . . . . 6
6	5	oveq1d 5547	. . . . 5
7	6	breq2d 3797	. . . 4
8	7	imbi2d 228	. . 3
9		fveq2 5198	. . . . . 6
10	9	oveq1d 5547	. . . . 5
11	10	breq2d 3797	. . . 4
12	11	imbi2d 228	. . 3
13		fveq2 5198	. . . . . 6
14	13	oveq1d 5547	. . . . 5
15	14	breq2d 3797	. . . 4
16	15	imbi2d 228	. . 3
17		resqrexlemex.a	. . . . 5
18	17	resqcld 9631	. . . . . 6
19		2re 8109	. . . . . . . 8
20	19	a1i 9	. . . . . . 7
21	20, 17	remulcld 7149	. . . . . 6
22	18, 21	readdcld 7148	. . . . 5
23		1red 7134	. . . . . 6
24	22, 23	readdcld 7148	. . . . 5
25	17	recnd 7147	. . . . . . . 8
26	25	mulid2d 7137	. . . . . . 7
27		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8
28		1le2 8239	. . . . . . . . 9
29		lemul1a 7936	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	28, 29	mpan2 415	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
31	23, 20, 17, 27, 30	syl112anc 1173	. . . . . . 7
32	26, 31	eqbrtrrd 3807	. . . . . 6
33	17	sqge0d 9632	. . . . . . 7
34	21, 18	addge02d 7634	. . . . . . 7
35	33, 34	mpbid 145	. . . . . 6
36	17, 21, 22, 32, 35	letrd 7233	. . . . 5
37	22	ltp1d 8008	. . . . 5
38	17, 22, 24, 36, 37	lelttrd 7234	. . . 4
39		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8
40	39, 17, 27	resqrexlemf1 9894	. . . . . . 7
41		1cnd 7135	. . . . . . . 8
42	41, 25	addcomd 7259	. . . . . . 7
43	40, 42	eqtrd 2113	. . . . . 6
44	43	oveq1d 5547	. . . . 5
45		binom21 9586	. . . . . 6
46	25, 45	syl 14	. . . . 5
47	44, 46	eqtrd 2113	. . . 4
48	38, 47	breqtrrd 3811	. . 3
49	39, 17, 27	resqrexlemf 9893	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	ffvelrnda 5323	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51	50	rpred 8773	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
52	17	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 50	rerpdivcld 8805	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	51, 53	resubcld 7485	. . . . . . . . . . 11 $/\$
55	54	adantr 270	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	55	resqcld 9631	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57		4re 8116	. . . . . . . . . 10
58	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
59	51	resqcld 9631	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
60	59, 52	resubcld 7485	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	60	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	51	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
63	52, 59	posdifd 7632	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	63	biimpa 290	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
65	50	rpgt0d 8776	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
66	65	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
67	61, 62, 64, 66	divgt0d 8013	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
68	51	recnd 7147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
69	68	sqcld 9603	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
70	69	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71	25	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
72	71	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
73	68	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
74	50	rpap0d 8779	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ #
75	74	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
76	70, 72, 73, 75	divsubdirapd 7916	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
77	73	sqvald 9602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
78	77	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
79	73, 73, 75	divcanap3d 7882	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
80	78, 79	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	80	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	76, 81	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
83	67, 82	breqtrd 3809	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
84	55, 83	gt0ap0d 7728	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
85	55, 84	sqgt0apd 9633	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86		4pos 8136	. . . . . . . . . 10
87	86	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
88	56, 58, 85, 87	divgt0d 8013	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	57, 86	gt0ap0ii 7727	. . . . . . . . . . 11 #
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
91	56, 58, 90	redivclapd 7920	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
92	52	adantr 270	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
93	91, 92	ltaddpos2d 7630	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
94	88, 93	mpbid 145	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
95	39, 17, 27	resqrexlemfp1 9895	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
96	95	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
97	51, 53	readdcld 7148	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
98	97	recnd 7147	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
99		2cnd 8112	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
100		2ap0 8132	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
102	98, 99, 101	sqdivapd 9618	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
103	96, 102	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
104		sq2 9571	. . . . . . . . . . . . 13
105	104	oveq2i 5543	. . . . . . . . . . . 12
106	103, 105	syl6eq 2129	. . . . . . . . . . 11 $/\$
107	71, 68, 74	divcanap2d 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
108	107	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
109	108	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
110	109	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
111	110	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
112	53	recnd 7147	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
113		binom2sub 9587	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
114	68, 112, 113	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	114	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
116		binom2 9585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	68, 112, 116	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	108	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
119	118	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	117, 119	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	99, 71	mulcld 7139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
122	121	negcld 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
123		4cn 8117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
125	124, 71	mulcld 7139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
126	69, 122, 125	addassd 7141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
127	69, 121	negsubd 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
128	127	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
129		2cn 8110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130	129	negcli 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131	130, 129, 129	addassi 7127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
132	129	subidi 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
133	132	negeqi 7302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
134	129, 129	negsubdii 7393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
135		neg0 7354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
136	133, 134, 135	3eqtr3i 2109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
137	136	oveq1i 5542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
138	129	addid2i 7251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139	137, 138	eqtri 2101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
140		2p2e4 8159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
141	140	oveq2i 5543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
142	131, 139, 141	3eqtr3ri 2110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
143	142	oveq1i 5542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
144	130	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
145	144, 124, 71	adddird 7144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
146	99, 71	mulneg1d 7515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
147	146	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
148	145, 147	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
149	143, 148	syl5reqr 2128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
150	149	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
151	126, 128, 150	3eqtr3rd 2122	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
152	151	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
153	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
154	153, 52	remulcld 7149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
155	59, 154	resubcld 7485	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
156	57	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
157	156, 52	remulcld 7149	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
158	53	resqcld 9631	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
159		recn 7106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160		recn 7106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
161		addcom 7245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
162	159, 160, 161	syl2an 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
163	162	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
164		recn 7106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
165		addass 7103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
166	159, 160, 164, 165	syl3an 1211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
167	166	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	155, 157, 158, 163, 167	caov32d 5701	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
169	120, 152, 168	3eqtrd 2117	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
170	111, 115, 169	3eqtr4rd 2124	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
171	170	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	106, 171	eqtrd 2113	. . . . . . . . . 10 $/\$
173	68, 112	subcld 7419	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
174	173	sqcld 9603	. . . . . . . . . . 11 $/\$
175	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
176	174, 125, 124, 175	divdirapd 7915	. . . . . . . . . 10 $/\$
177	71, 124, 175	divcanap3d 7882	. . . . . . . . . . 11 $/\$
178	177	oveq2d 5548	. . . . . . . . . 10 $/\$
179	172, 176, 178	3eqtrd 2117	. . . . . . . . 9 $/\$
180	179	breq2d 3797	. . . . . . . 8 $/\$
181	180	adantr 270	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
182	94, 181	mpbird 165	. . . . . 6 $/\$ $/\$
183	182	ex 113	. . . . 5 $/\$
184	183	expcom 114	. . . 4
185	184	a2d 26	. . 3
186	4, 8, 12, 16, 48, 185	nnind 8055	. 2
187	186	impcom 123	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 102

wb 103 $/\$ w3a 919

wceq 1284

wcel 1433

csn 3398 class class class wbr 3785

cxp 4361

cfv 4922 (class class class)co 5532

cmpt2 5534

cc 6979

cr 6980

cc0 6981

c1 6982

caddc 6984

cmul 6986

clt 7153

cle 7154

cmin 7279

cneg 7280 # cap 7681

cdiv 7760

cn 8039

c2 8089

c4 8091

crp 8734

cseq 9431

cexp 9475

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 576 ax-in2 577 ax-io 662 ax-5 1376 ax-7 1377 ax-gen 1378 ax-ie1 1422 ax-ie2 1423 ax-8 1435 ax-10 1436 ax-11 1437 ax-i12 1438 ax-bndl 1439 ax-4 1440 ax-13 1444 ax-14 1445 ax-17 1459 ax-i9 1463 ax-ial 1467 ax-i5r 1468 ax-ext 2063 ax-coll 3893 ax-sep 3896 ax-nul 3904 ax-pow 3948 ax-pr 3964 ax-un 4188 ax-setind 4280 ax-iinf 4329 ax-cnex 7067 ax-resscn 7068 ax-1cn 7069 ax-1re 7070 ax-icn 7071 ax-addcl 7072 ax-addrcl 7073 ax-mulcl 7074 ax-mulrcl 7075 ax-addcom 7076 ax-mulcom 7077 ax-addass 7078 ax-mulass 7079 ax-distr 7080 ax-i2m1 7081 ax-0lt1 7082 ax-1rid 7083 ax-0id 7084 ax-rnegex 7085 ax-precex 7086 ax-cnre 7087 ax-pre-ltirr 7088 ax-pre-ltwlin 7089 ax-pre-lttrn 7090 ax-pre-apti 7091 ax-pre-ltadd 7092 ax-pre-mulgt0 7093 ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 776 df-3or 920 df-3an 921 df-tru 1287 df-fal 1290 df-nf 1390 df-sb 1686 df-eu 1944 df-mo 1945 df-clab 2068 df-cleq 2074 df-clel 2077 df-nfc 2208 df-ne 2246 df-nel 2340 df-ral 2353 df-rex 2354 df-reu 2355 df-rmo 2356 df-rab 2357 df-v 2603 df-sbc 2816 df-csb 2909 df-dif 2975 df-un 2977 df-in 2979 df-ss 2986 df-nul 3252 df-if 3352 df-pw 3384 df-sn 3404 df-pr 3405 df-op 3407 df-uni 3602 df-int 3637 df-iun 3680 df-br 3786 df-opab 3840 df-mpt 3841 df-tr 3876 df-id 4048 df-po 4051 df-iso 4052 df-iord 4121 df-on 4123 df-suc 4126 df-iom 4332 df-xp 4369 df-rel 4370 df-cnv 4371 df-co 4372 df-dm 4373 df-rn 4374 df-res 4375 df-ima 4376 df-iota 4887 df-fun 4924 df-fn 4925 df-f 4926 df-f1 4927 df-fo 4928 df-f1o 4929 df-fv 4930 df-riota 5488 df-ov 5535 df-oprab 5536 df-mpt2 5537 df-1st 5787 df-2nd 5788 df-recs 5943 df-frec 6001 df-pnf 7155 df-mnf 7156 df-xr 7157 df-ltxr 7158 df-le 7159 df-sub 7281 df-neg 7282 df-reap 7675 df-ap 7682 df-div 7761 df-inn 8040 df-2 8098 df-3 8099 df-4 8100 df-n0 8289 df-z 8352 df-uz 8620 df-rp 8735 df-iseq 9432 df-iexp 9476

This theorem is referenced by: resqrexlemdec 9897 resqrexlemcalc2 9901 resqrexlemnmsq 9903 resqrexlemga 9909

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