Theorem ltmnqg 6591

Description: Ordering property of multiplication for positive fractions. Proposition 9-2.6(iii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltmnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( C .Q A ) <Q ( C .Q B ) ) )

Proof of Theorem ltmnqg

Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 6538	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		breq1 3788	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> A <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
3		oveq2 5540	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) )
4	3	breq1d 3795	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
5	2, 4	bibi12d 233	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) <-> ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) ) )
6		breq2 3789	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> A <Q B ) )
7		oveq2 5540	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) )
8	7	breq2d 3797	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) ) )
9	6, 8	bibi12d 233	. 2 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) <-> ( A <Q B <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) ) ) )
10		oveq1 5539	. . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) = ( C .Q A ) )
11		oveq1 5539	. . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) = ( C .Q B ) )
12	10, 11	breq12d 3798	. . 3 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) <-> ( C .Q A ) <Q ( C .Q B ) ) )
13	12	bibi2d 230	. 2 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( ( A <Q B <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) ) <-> ( A <Q B <-> ( C .Q A ) <Q ( C .Q B ) ) ) )
14		mulclpi 6518	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) e. N. )
15	14	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
16		simp1l 962	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> x e. N. )
17		simp2r 965	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> w e. N. )
18	15, 16, 17	caovcld 5674	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( x .N w ) e. N. )
19		simp1r 963	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> y e. N. )
20		simp2l 964	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> z e. N. )
21	15, 19, 20	caovcld 5674	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N z ) e. N. )
22		mulclpi 6518	. . . . . . 7 |- ( ( v e. N. /\ u e. N. ) -> ( v .N u ) e. N. )
23	22	3ad2ant3 961	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v .N u ) e. N. )
24		ltmpig 6529	. . . . . 6 |- ( ( ( x .N w ) e. N. /\ ( y .N z ) e. N. /\ ( v .N u ) e. N. ) -> ( ( x .N w ) <N ( y .N z ) <-> ( ( v .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) ) )
25	18, 21, 23, 24	syl3anc 1169	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) <N ( y .N z ) <-> ( ( v .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) ) )
26		simp3l 966	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> v e. N. )
27		simp3r 967	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
28		mulcompig 6521	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
29	28	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
30		mulasspig 6522	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
31	30	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
32	26, 16, 27, 29, 31, 17, 15	caov4d 5705	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( v .N x ) .N ( u .N w ) ) = ( ( v .N u ) .N ( x .N w ) ) )
33	27, 19, 26, 29, 31, 20, 15	caov4d 5705	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) = ( ( u .N v ) .N ( y .N z ) ) )
34		mulcompig 6521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. N. /\ v e. N. ) -> ( u .N v ) = ( v .N u ) )
35	34	oveq1d 5547	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( u .N v ) .N ( y .N z ) ) = ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) )
36	35	ancoms 264	. . . . . . . 8 |- ( ( v e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( u .N v ) .N ( y .N z ) ) = ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) )
37	36	3ad2ant3 961	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N v ) .N ( y .N z ) ) = ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) )
38	33, 37	eqtrd 2113	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) = ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) )
39	32, 38	breq12d 3798	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( v .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) <-> ( ( v .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) ) )
40	25, 39	bitr4d 189	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) <N ( y .N z ) <-> ( ( v .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) ) )
41		ordpipqqs 6564	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
42	41	3adant3 958	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
43	15, 26, 16	caovcld 5674	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v .N x ) e. N. )
44	15, 27, 19	caovcld 5674	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N y ) e. N. )
45	15, 26, 20	caovcld 5674	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v .N z ) e. N. )
46	15, 27, 17	caovcld 5674	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N w ) e. N. )
47		ordpipqqs 6564	. . . . 5 |- ( ( ( ( v .N x ) e. N. /\ ( u .N y ) e. N. ) /\ ( ( v .N z ) e. N. /\ ( u .N w ) e. N. ) ) -> ( [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q <-> ( ( v .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) ) )
48	43, 44, 45, 46, 47	syl22anc 1170	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q <-> ( ( v .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) ) )
49	40, 42, 48	3bitr4d 218	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q ) )
50		mulpipqqs 6563	. . . . . 6 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q )
51	50	ancoms 264	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q )
52	51	3adant2 957	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q )
53		mulpipqqs 6563	. . . . . 6 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q )
54	53	ancoms 264	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q )
55	54	3adant1 956	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q )
56	52, 55	breq12d 3798	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q ) )
57	49, 56	bitr4d 189	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
58	1, 5, 9, 13, 57	3ecoptocl 6218	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( C .Q A ) <Q ( C .Q B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   <.cop 3401   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   [cec 6127   N.cnpi 6462   .N cmi 6464   <N clti 6465   ~Q ceq 6469   Q.cnq 6470   .Q cmq 6473   <Q cltq 6475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-mi 6496  df-lti 6497  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-mqqs 6540  df-ltnqqs 6543

This theorem is referenced by:  ltmnqi  6593  lt2mulnq  6595  ltaddnq  6597  prarloclemarch  6608  prarloclemarch2  6609  ltrnqg  6610  prarloclemlt  6683  addnqprllem  6717  addnqprulem  6718  appdivnq  6753  mulnqprl  6758  mulnqpru  6759  mullocprlem  6760  mulclpr  6762  distrlem4prl  6774  distrlem4pru  6775  1idprl  6780  1idpru  6781  recexprlem1ssl  6823  recexprlem1ssu  6824