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Theorem xrltso 8871

Description: 'Less than' is a weakly linear ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
xrltso

Proof of Theorem xrltso Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltnr 8855	. . . . 5
2	1	adantl 271	. . . 4 $/\$
3		xrlttr 8870	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
4	3	adantl 271	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	2, 4	ispod 4059	. . 3
6	5	trud 1293	. 2
7		elxr 8850	. . . . 5 $\/$ $\/$
8		elxr 8850	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
9		elxr 8850	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $\/$
10		simplr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
11		simpll 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
12		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
13		axltwlin 7180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
15		ltpnf 8856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16	15	ad2antlr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
17		breq2 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
18	17	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
19	16, 18	mpbird 165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
20	19	orcd 684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
21	20	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
22		mnflt 8858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23	22	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
24		breq1 3788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25	24	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
26	23, 25	mpbird 165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
27	26	olcd 685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
28	27	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
29	14, 21, 28	3jaodan 1237	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
30	9, 29	sylan2b 281	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
31	30	anasss 391	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
32	31	ancoms 264	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
33		ltpnf 8856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
34	33	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
35		breq2 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
36	35	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
37	34, 36	mpbird 165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
38	37	olcd 685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
39	38	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
40	15	ad2antlr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
41	17	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
42	40, 41	mpbird 165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
43	42	orcd 684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
44	43	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
45		mnfltpnf 8860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
46		breq12 3790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
47	46	ancoms 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
48	45, 47	mpbiri 166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
49	48	adantlr 460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
50	49	olcd 685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
51	50	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
52	39, 44, 51	3jaodan 1237	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
53	9, 52	sylan2b 281	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
54	53	anasss 391	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
55	54	ancoms 264	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
56		rexr 7164	. . . . . . . . . . . . . . 15
57		nltmnf 8863	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
59	58	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
60		breq2 3789	. . . . . . . . . . . . . 14
61	60	adantl 271	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	59, 61	mtbird 630	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
63	62	pm2.21d 581	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
64	32, 55, 63	3jaodan 1237	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
65	8, 64	sylan2b 281	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$
66	65	anasss 391	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\/$
67	66	ancoms 264	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
68		pnfnlt 8862	. . . . . . . . . 10
69	68	ad2antlr 472	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
70		breq1 3788	. . . . . . . . . 10
71	70	adantl 271	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
72	69, 71	mtbird 630	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
73	72	pm2.21d 581	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
74		df-3or 920	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
75	9, 74	bitri 182	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
76		mnfltxr 8861	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$
77	76	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
78		breq1 3788	. . . . . . . . . . . . . . 15
79	78	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
80	77, 79	mpbird 165	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
81	80	orcd 684	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $\/$
82	81	a1d 22	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $\/$
83		eqtr3 2100	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
84	83	breq1d 3795	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
85		olc 664	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
86	84, 85	syl6bi 161	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$
87	82, 86	jaodan 743	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
88	75, 87	sylan2b 281	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
89	88	ancoms 264	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
90	89	adantlr 460	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
91	67, 73, 90	3jaodan 1237	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
92	91	3impa 1133	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
93	7, 92	syl3an3b 1207	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$
94	93	3com13 1143	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$
95	94	rgen3 2448	. 2 $\/$
96		df-iso 4052	. 2 $/\$ $\/$
97	6, 95, 96	mpbir2an 883	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 102

wb 103 $\/$ wo 661 $\/$ w3o 918 $/\$ w3a 919

wceq 1284

wtru 1285

wcel 1433

wral 2348 class class class wbr 3785

wpo 4049

wor 4050

cr 6980

cpnf 7150

cmnf 7151

cxr 7152

clt 7153

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 576 ax-in2 577 ax-io 662 ax-5 1376 ax-7 1377 ax-gen 1378 ax-ie1 1422 ax-ie2 1423 ax-8 1435 ax-10 1436 ax-11 1437 ax-i12 1438 ax-bndl 1439 ax-4 1440 ax-13 1444 ax-14 1445 ax-17 1459 ax-i9 1463 ax-ial 1467 ax-i5r 1468 ax-ext 2063 ax-sep 3896 ax-pow 3948 ax-pr 3964 ax-un 4188 ax-setind 4280 ax-cnex 7067 ax-resscn 7068 ax-pre-ltirr 7088 ax-pre-ltwlin 7089 ax-pre-lttrn 7090

This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-3or 920 df-3an 921 df-tru 1287 df-fal 1290 df-nf 1390 df-sb 1686 df-eu 1944 df-mo 1945 df-clab 2068 df-cleq 2074 df-clel 2077 df-nfc 2208 df-ne 2246 df-nel 2340 df-ral 2353 df-rex 2354 df-rab 2357 df-v 2603 df-dif 2975 df-un 2977 df-in 2979 df-ss 2986 df-pw 3384 df-sn 3404 df-pr 3405 df-op 3407 df-uni 3602 df-br 3786 df-opab 3840 df-po 4051 df-iso 4052 df-xp 4369 df-pnf 7155 df-mnf 7156 df-xr 7157 df-ltxr 7158

This theorem is referenced by: xrlelttr 8876 xrltletr 8877 xrletr 8878

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