cauappcvgprlemdisj - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem cauappcvgprlemdisj 6841

Description: Lemma for cauappcvgpr 6852. The putative limit is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cauappcvgpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
cauappcvgpr.app	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <_Q (𝐹‘𝑝))
cauappcvgpr.lim	⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩

**Assertion**
Ref	Expression
cauappcvgprlemdisj	⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ Q ¬ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝 𝐿,𝑝,𝑞 𝜑,𝑝,𝑞 𝐿,𝑠 𝐴,𝑠,𝑝 𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑠 𝜑,𝑠 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑢,𝑙) 𝐴(𝑢,𝑞,𝑙) 𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemdisj Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cauappcvgpr.app	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
2		simpl 107	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) → (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))
3	2	ralimi 2426	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) → ∀𝑞 ∈ Q (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))
4	3	ralimi 2426	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))
5	1, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))
6	5	adantr 270	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))
7		oveq1 5539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = 𝑠 → (𝑙 +_Q 𝑞) = (𝑠 +_Q 𝑞))
8	7	breq1d 3795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = 𝑠 → ((𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ (𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)))
9	8	rexbidv 2369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑠 → (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)))
10		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩
11	10	fveq2i 5201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1^st ‘𝐿) = (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)
12		nqex 6553	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Q ∈ V
13	12	rabex 3922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)} ∈ V
14	12	rabex 3922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢} ∈ V
15	13, 14	op1st 5793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}
16	11, 15	eqtri 2101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1^st ‘𝐿) = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}
17	9, 16	elrab2 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ↔ (𝑠 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)))
18	17	simprbi 269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) → ∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞))
19		oveq2 5540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑠 +_Q 𝑞) = (𝑠 +_Q 𝑝))
20		fveq2 5198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑝))
21	19, 20	breq12d 3798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ (𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝)))
22	21	cbvrexv 2578	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ ∃𝑝 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝))
23	18, 22	sylib 120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) → ∃𝑝 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝))
24		breq2 3789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢 ↔ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠))
25	24	rexbidv 2369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠))
26	10	fveq2i 5201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2^nd ‘𝐿) = (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)
27	13, 14	op2nd 5794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}
28	26, 27	eqtri 2101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2^nd ‘𝐿) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}
29	25, 28	elrab2 2751	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿) ↔ (𝑠 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠))
30	29	simprbi 269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)
31	23, 30	anim12i 331	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿)) → (∃𝑝 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠))
32		reeanv 2523	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ Q ∃𝑞 ∈ Q ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠) ↔ (∃𝑝 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠))
33	31, 32	sylibr 132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿)) → ∃𝑝 ∈ Q ∃𝑞 ∈ Q ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠))
34	33	adantl 271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) → ∃𝑝 ∈ Q ∃𝑞 ∈ Q ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠))
35	6, 34	r19.29d2r 2499	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) → ∃𝑝 ∈ Q ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)))
36		simprl 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → (𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝))
37		simpl 107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))
38	36, 37	jca 300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
39	17	simplbi 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) → 𝑠 ∈ Q)
40	39	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿)) → 𝑠 ∈ Q)
41	40	ad3antlr 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → 𝑠 ∈ Q)
42		simplr 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → 𝑝 ∈ Q)
43		addclnq 6565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧ 𝑝 ∈ Q) → (𝑠 +_Q 𝑝) ∈ Q)
44	41, 42, 43	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑠 +_Q 𝑝) ∈ Q)
45		cauappcvgpr.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
46	45	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → 𝐹:Q⟶Q)
47	46, 42	ffvelrnd 5324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝐹‘𝑝) ∈ Q)
48		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → 𝑞 ∈ Q)
49	46, 48	ffvelrnd 5324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝐹‘𝑞) ∈ Q)
50		addclnq 6565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑝 +_Q 𝑞) ∈ Q)
51	42, 48, 50	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑝 +_Q 𝑞) ∈ Q)
52		addclnq 6565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ Q ∧ (𝑝 +_Q 𝑞) ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∈ Q)
53	49, 51, 52	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∈ Q)
54		ltsonq 6588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ <_Q Or Q
55		sotr 4073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( <_Q Or Q ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) ∈ Q ∧ (𝐹‘𝑝) ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∈ Q)) → (((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) → (𝑠 +_Q 𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
56	54, 55	mpan 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑠 +_Q 𝑝) ∈ Q ∧ (𝐹‘𝑝) ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∈ Q) → (((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) → (𝑠 +_Q 𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
57	44, 47, 53, 56	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) → (𝑠 +_Q 𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
58	38, 57	syl5 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → (𝑠 +_Q 𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
59		simprr 498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)
60	59	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠))
61	58, 60	jcad 301	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)))
62		addcomnqg 6571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧ 𝑝 ∈ Q) → (𝑠 +_Q 𝑝) = (𝑝 +_Q 𝑠))
63	41, 42, 62	syl2anc 403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑠 +_Q 𝑝) = (𝑝 +_Q 𝑠))
64		addcomnqg 6571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 +_Q 𝑔) = (𝑔 +_Q 𝑓))
65	64	adantl 271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q)) → (𝑓 +_Q 𝑔) = (𝑔 +_Q 𝑓))
66		addassnqg 6572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → ((𝑓 +_Q 𝑔) +_Q ℎ) = (𝑓 +_Q (𝑔 +_Q ℎ)))
67	66	adantl 271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q)) → ((𝑓 +_Q 𝑔) +_Q ℎ) = (𝑓 +_Q (𝑔 +_Q ℎ)))
68	49, 42, 48, 65, 67	caov12d 5702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) = (𝑝 +_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞)))
69	63, 68	breq12d 3798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ↔ (𝑝 +_Q 𝑠) <_Q (𝑝 +_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞))))
70	69	anbi1d 452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠) ↔ ((𝑝 +_Q 𝑠) <_Q (𝑝 +_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)))
71	61, 70	sylibd 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → ((𝑝 +_Q 𝑠) <_Q (𝑝 +_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)))
72		addclnq 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q)
73	49, 48, 72	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q)
74		ltanqg 6590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q ∧ 𝑝 ∈ Q) → (𝑠 <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ↔ (𝑝 +_Q 𝑠) <_Q (𝑝 +_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞))))
75	41, 73, 42, 74	syl3anc 1169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑠 <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ↔ (𝑝 +_Q 𝑠) <_Q (𝑝 +_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞))))
76	75	anbi1d 452	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝑠 <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠) ↔ ((𝑝 +_Q 𝑠) <_Q (𝑝 +_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)))
77	71, 76	sylibrd 167	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → (𝑠 <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)))
78		so2nr 4076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( <_Q Or Q ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q)) → ¬ (𝑠 <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠))
79	54, 78	mpan 414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q) → ¬ (𝑠 <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠))
80	41, 73, 79	syl2anc 403	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (𝑠 <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠))
81	80	pm2.21d 581	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝑠 <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠) → ⊥))
82	77, 81	syld 44	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → ⊥))
83	82	rexlimdva 2477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) ∧ 𝑝 ∈ Q) → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → ⊥))
84	83	rexlimdva 2477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) → (∃𝑝 ∈ Q ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +_Q 𝑝) <_Q (𝐹‘𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑠)) → ⊥))
85	35, 84	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿))) → ⊥)
86	85	inegd 1303	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿)))
87	86	ralrimivw 2435	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ Q ¬ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2^nd ‘𝐿)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 102 ↔ wb 103 ∧ w3a 919 = wceq 1284 ⊥wfal 1289 ∈ wcel 1433 ∀wral 2348 ∃wrex 2349 {crab 2352 ⟨cop 3401 class class class wbr 3785 Or wor 4050 ⟶wf 4918 ‘cfv 4922 (class class class)co 5532 1^st c1st 5785 2^nd c2nd 5786 Qcnq 6470 +_Q cplq 6472 <_Q cltq 6475

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 576 ax-in2 577 ax-io 662 ax-5 1376 ax-7 1377 ax-gen 1378 ax-ie1 1422 ax-ie2 1423 ax-8 1435 ax-10 1436 ax-11 1437 ax-i12 1438 ax-bndl 1439 ax-4 1440 ax-13 1444 ax-14 1445 ax-17 1459 ax-i9 1463 ax-ial 1467 ax-i5r 1468 ax-ext 2063 ax-coll 3893 ax-sep 3896 ax-nul 3904 ax-pow 3948 ax-pr 3964 ax-un 4188 ax-setind 4280 ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 776 df-3or 920 df-3an 921 df-tru 1287 df-fal 1290 df-nf 1390 df-sb 1686 df-eu 1944 df-mo 1945 df-clab 2068 df-cleq 2074 df-clel 2077 df-nfc 2208 df-ne 2246 df-ral 2353 df-rex 2354 df-reu 2355 df-rab 2357 df-v 2603 df-sbc 2816 df-csb 2909 df-dif 2975 df-un 2977 df-in 2979 df-ss 2986 df-nul 3252 df-pw 3384 df-sn 3404 df-pr 3405 df-op 3407 df-uni 3602 df-int 3637 df-iun 3680 df-br 3786 df-opab 3840 df-mpt 3841 df-tr 3876 df-eprel 4044 df-id 4048 df-po 4051 df-iso 4052 df-iord 4121 df-on 4123 df-suc 4126 df-iom 4332 df-xp 4369 df-rel 4370 df-cnv 4371 df-co 4372 df-dm 4373 df-rn 4374 df-res 4375 df-ima 4376 df-iota 4887 df-fun 4924 df-fn 4925 df-f 4926 df-f1 4927 df-fo 4928 df-f1o 4929 df-fv 4930 df-ov 5535 df-oprab 5536 df-mpt2 5537 df-1st 5787 df-2nd 5788 df-recs 5943 df-irdg 5980 df-oadd 6028 df-omul 6029 df-er 6129 df-ec 6131 df-qs 6135 df-ni 6494 df-pli 6495 df-mi 6496 df-lti 6497 df-plpq 6534 df-enq 6537 df-nqqs 6538 df-plqqs 6539 df-ltnqqs 6543

This theorem is referenced by: cauappcvgprlemcl 6843

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