Theorem frec2uzrand 9407

Description: Range of 𝐺 (see frec2uz0d 9401). (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzrand	⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzrand

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		zex 8360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ V
3	2	mptex 5408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) ∈ V
4		vex 2604	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
5	3, 4	fvex 5215	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
6	5	ax-gen 1378	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
7		frecfnom 6009	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
8	6, 7	mpan 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
9		frec2uz.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
10	9	fneq1i 5013	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Fn ω ↔ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
11	8, 10	sylibr 132	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐺 Fn ω)
12		fvelrnb 5242	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn ω → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦))
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦))
14		simpl 107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝐶 ∈ ℤ)
15		simpr 108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
16	14, 9, 15	frec2uzuzd 9404	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
17		eleq1 2141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
18	16, 17	syl5ibcom 153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
19	18	rexlimdva 2477	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
20	13, 19	sylbid 148	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
21		eleq1 2141	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (𝑤 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝐶 ∈ ran 𝐺))
22		eleq1 2141	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝑦 ∈ ran 𝐺))
23		eleq1 2141	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 + 1) → (𝑤 ∈ ran 𝐺 ↔ (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
24		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℤ)
25	24, 9	frec2uz0d 9401	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐺‘∅) = 𝐶)
26		peano1 4335	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ ω
27		fnfvelrn 5320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺)
28	11, 26, 27	sylancl 404	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺)
29	25, 28	eqeltrrd 2156	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ran 𝐺)
30		eluzel2 8624	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
31	14, 9, 15	frec2uzsucd 9403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
32		oveq1 5539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → ((𝐺‘𝑧) + 1) = (𝑦 + 1))
33	31, 32	sylan9eq 2133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘suc 𝑧) = (𝑦 + 1))
34		peano2 4336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ ω)
35		fnfvelrn 5320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 Fn ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
36	11, 34, 35	syl2an 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
37	36	adantr 270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
38	33, 37	eqeltrrd 2156	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺)
39	38	ex 113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
40	39	rexlimdva 2477	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
41	13, 40	sylbid 148	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
42	30, 41	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝑦 ∈ ran 𝐺 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
43	21, 22, 23, 22, 29, 42	uzind4 8676	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → 𝑦 ∈ ran 𝐺)
44	20, 43	impbid1 140	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
45	44	eqrdv 2079	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶))
46	1, 45	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103  ∀wal 1282   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∃wrex 2349  Vcvv 2601  ∅c0 3251   ↦ cmpt 3839  suc csuc 4120  ωcom 4331  ran crn 4364   Fn wfn 4917  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  freccfrec 6000  1c1 6982   + caddc 6984  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620

This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  9408