Theorem frecuzrdg0 9416

Description: Initial value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in frec2uz0d 9401 for the description of 𝐺 as the mapping from ω to (ℤ_≥‘𝐶). (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
uzrdg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
uzrdg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
uzrdg.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
uzrdg.2	⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdgfn.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ran 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdg0	⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐶) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝐺   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frecuzrdg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		frec2uz.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3		uzrdg.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		uzrdg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
5		uzrdg.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
6		uzrdg.2	. . . 4 ⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
7		frecuzrdgfn.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ran 𝑅)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	frecuzrdgfn 9414	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 Fn (ℤ≥‘𝐶))
9		fnfun 5016	. . 3 ⊢ (𝑇 Fn (ℤ≥‘𝐶) → Fun 𝑇)
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑇)
11	6	fveq1i 5199	. . . . 5 ⊢ (𝑅‘∅) = (frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅)
12		opexg 3983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V)
13	1, 4, 12	syl2anc 403	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V)
14		frec0g 6006	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V → (frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
15	13, 14	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
16	11, 15	syl5eq 2125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6	frecuzrdgrom 9412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn ω)
18		peano1 4335	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
19		fnfvelrn 5320	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅)
20	17, 18, 19	sylancl 404	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅)
21	16, 20	eqeltrrd 2156	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ ran 𝑅)
22	21, 7	eleqtrrd 2158	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑇)
23		funopfv 5234	. 2 ⊢ (Fun 𝑇 → (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑇 → (𝑇‘𝐶) = 𝐴))
24	10, 22, 23	sylc 61	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐶) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601  ∅c0 3251  ⟨cop 3401   ↦ cmpt 3839  ωcom 4331  ran crn 4364  Fun wfun 4916   Fn wfn 4917  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532   ↦ cmpt2 5534  freccfrec 6000  1c1 6982   + caddc 6984  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620

This theorem is referenced by:  iseq1  9442