Theorem opexg 3983

Description: An ordered pair of sets is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
opexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)

Proof of Theorem opexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfopg 3568	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
2		elex 2610	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
3		snexg 3956	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)
5	4	adantr 270	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {𝐴} ∈ V)
6		elex 2610	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
7		prexg 3966	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
8	2, 6, 7	syl2an 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
9		prexg 3966	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}} ∈ V)
10	5, 8, 9	syl2anc 403	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}} ∈ V)
11	1, 10	eqeltrd 2155	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601  {csn 3398  {cpr 3399  ⟨cop 3401

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407

This theorem is referenced by:  opex  3984  otexg  3985  opeliunxp  4413  opbrop  4437  opswapg  4827  elxp4  4828  elxp5  4829  resfunexg  5403  fliftel  5453  fliftel1  5454  oprabid  5557  ovexg  5559  eloprabga  5611  op1st  5793  op2nd  5794  ot1stg  5799  ot2ndg  5800  ot3rdgg  5801  elxp6  5816  mpt2fvex  5849  algrflem  5870  algrflemg  5871  mpt2xopoveq  5878  brtposg  5892  tfr0  5960  tfrlemisucaccv  5962  tfrlemibxssdm  5964  tfrlemibfn  5965  tfrlemi14d  5970  fnfi  6388  mulpipq2  6561  enq0breq  6626  addvalex  7012  peano2nnnn  7021  axcnre  7047  frec2uzrdg  9411  frecuzrdg0  9416  frecuzrdgsuc  9417  eucalgval2  10435