Theorem mulap0r 7715

Description: A product apart from zero. Lemma 2.13 of [Geuvers], p. 6. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mulap0r	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))

Proof of Theorem mulap0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 940	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 · 𝐵) # 0)
2		simp2 939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	mul02d 7496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (0 · 𝐵) = 0)
4	1, 3	breqtrrd 3811	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 · 𝐵) # (0 · 𝐵))
5		simp1 938	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		0cnd 7112	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 0 ∈ ℂ)
7		mulext 7714	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) # (0 · 𝐵) → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 𝐵)))
8	5, 2, 6, 2, 7	syl22anc 1170	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → ((𝐴 · 𝐵) # (0 · 𝐵) → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 𝐵)))
9	4, 8	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 𝐵))
10	9	orcomd 680	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐵 # 𝐵 ∨ 𝐴 # 0))
11		apirr 7705	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ¬ 𝐵 # 𝐵)
12		biorf 695	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 # 𝐵 → (𝐴 # 0 ↔ (𝐵 # 𝐵 ∨ 𝐴 # 0)))
13	2, 11, 12	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐵 # 𝐵 ∨ 𝐴 # 0)))
14	10, 13	mpbird 165	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐴 # 0)
15	5	mul01d 7497	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 · 0) = 0)
16	1, 15	breqtrrd 3811	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 · 𝐵) # (𝐴 · 0))
17		mulext 7714	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐴 · 0) → (𝐴 # 𝐴 ∨ 𝐵 # 0)))
18	5, 2, 5, 6, 17	syl22anc 1170	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐴 · 0) → (𝐴 # 𝐴 ∨ 𝐵 # 0)))
19	16, 18	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 𝐴 ∨ 𝐵 # 0))
20		apirr 7705	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ¬ 𝐴 # 𝐴)
21		biorf 695	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 # 𝐴 → (𝐵 # 0 ↔ (𝐴 # 𝐴 ∨ 𝐵 # 0)))
22	5, 20, 21	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐵 # 0 ↔ (𝐴 # 𝐴 ∨ 𝐵 # 0)))
23	19, 22	mpbird 165	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐵 # 0)
24	14, 23	jca 300	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 661   ∧ w3a 919   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  0cc0 6981   · cmul 6986   # cap 7681

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-ltxr 7158  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682

This theorem is referenced by:  msqge0  7716  mulge0  7719  mulap0b  7745