Theorem breqtrrd 3811

Description: Substitution of equal classes into a binary relation. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
breqtrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
breqtrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
breqtrrd	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem breqtrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breqtrrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		breqtrrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)
3	2	eqcomd 2086	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 3	breqtrd 3809	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1284   class class class wbr 3785

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786

This theorem is referenced by:  frirrg  4105  unsnfidcex  6385  unsnfidcel  6386  addlocprlemeq  6723  ltexprlemopl  6791  recexprlemloc  6821  cauappcvgprlemopl  6836  cauappcvgprlemladdfu  6844  cauappcvgprlem1  6849  caucvgprlemopl  6859  caucvgprlemladdfu  6867  caucvgprprlemopl  6887  caucvgprprlemexbt  6896  mulgt0sr  6954  archsr  6958  caucvgsrlemoffgt1  6975  mulap0r  7715  prodgt0  7930  div4p1lem1div2  8284  uzsubsubfz  9066  fzctr  9144  subfzo0  9251  qbtwnzlemstep  9257  qbtwnzlemex  9259  rebtwn2zlemstep  9261  rebtwn2z  9263  qbtwnxr  9266  ceilqge  9312  modqge0  9334  modqlt  9335  modqid  9351  m1modge3gt1  9373  modaddmodup  9389  addmodlteq  9400  isermono  9457  serile  9474  leexp1a  9531  sqgt0ap  9544  sqge0  9552  nnlesq  9578  expnbnd  9596  nn0opthlem2d  9648  facwordi  9667  cjmulge0  9776  resqrexlemover  9896  resqrexlemdec  9897  resqrexlemlo  9899  resqrexlemcalc3  9902  resqrexlemcvg  9905  resqrexlemoverl  9907  resqrexlemglsq  9908  resqrexlemga  9909  absge0  9946  amgm2  10004  maxle1  10097  climle  10172  climserile  10183  iddvdsexp  10219  dvdsadd  10238  dvdsfac  10260  dvdsmod  10262  omoe  10296  divalglemnn  10318  divalglemnqt  10320  flodddiv4t2lthalf  10337  dvdslegcd  10356  dfgcd3  10399  dvdssqim  10413  dvdsmulgcd  10414  nn0seqcvgd  10423  dvdslcm  10451  lcmgcdlem  10459  mulgcddvds  10476  qredeq  10478  cncongr2  10486  sqnprm  10517  isprm6  10526  sqpweven  10553  znege1  10556  sqrt2irrap  10558