Theorem nn0ge0 8313

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 8290	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 8046	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 8064	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 7119	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 7198	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 414	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 61	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 8128	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 3789	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 166	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 668	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 119	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 661   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  ℝcr 6980  0cc0 6981   < clt 7153   ≤ cle 7154  ℕcn 8039  ℕ₀cn0 8288

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-cnv 4371  df-iota 4887  df-fv 4930  df-ov 5535  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-inn 8040  df-n0 8289

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  8314  nn0ge0i  8315  nn0le0eq0  8316  nn0p1gt0  8317  0mnnnnn0  8320  nn0addge1  8334  nn0addge2  8335  nn0ge0d  8344  elnn0z  8364  nn0lt10b  8428  nn0ge0div  8434  nn0pnfge0  8866  0elfz  9132  fz0fzelfz0  9138  fz0fzdiffz0  9141  fzctr  9144  difelfzle  9145  elfzodifsumelfzo  9210  fvinim0ffz  9250  subfzo0  9251  adddivflid  9294  modqmuladdnn0  9370  modfzo0difsn  9397  bernneq  9593  bernneq3  9595  faclbnd  9668  faclbnd6  9671  facubnd  9672  ibcval5  9690  dvdseq  10248  evennn02n  10282  nn0ehalf  10303  nn0oddm1d2  10309  gcdn0gt0  10369  nn0gcdid0  10372  absmulgcd  10406  algcvgblem  10431  ialgcvga  10433  lcmgcdnn  10464