Theorem rec1nq 6585

Description: Reciprocal of positive fraction one. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rec1nq	⊢ (*Q‘1Q) = 1Q

Proof of Theorem rec1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nq 6556	. . . 4 ⊢ 1Q ∈ Q
2		recclnq 6582	. . . 4 ⊢ (1Q ∈ Q → (*Q‘1Q) ∈ Q)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 ⊢ (*Q‘1Q) ∈ Q
4		mulcomnqg 6573	. . 3 ⊢ (((*Q‘1Q) ∈ Q ∧ 1Q ∈ Q) → ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (1Q ·Q (*Q‘1Q)))
5	3, 1, 4	mp2an 416	. 2 ⊢ ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (1Q ·Q (*Q‘1Q))
6		mulidnq 6579	. . 3 ⊢ ((*Q‘1Q) ∈ Q → ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q))
7	1, 2, 6	mp2b 8	. 2 ⊢ ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q)
8		recidnq 6583	. . 3 ⊢ (1Q ∈ Q → (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q)
9	1, 8	ax-mp 7	. 2 ⊢ (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q
10	5, 7, 9	3eqtr3i 2109	1 ⊢ (*Q‘1Q) = 1Q

Syntax hints:   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  Qcnq 6470  1_Qc1q 6471   ·_Q cmq 6473  *_Qcrq 6474

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-mi 6496  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-mqqs 6540  df-1nqqs 6541  df-rq 6542

This theorem is referenced by:  recexprlem1ssl  6823  caucvgprlemm  6858  caucvgprprlemmu  6885  caucvgsr  6978