recexprlemss1l - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem recexprlemss1l 6825

Description: The lower cut of 𝐴 ·_P 𝐵 is a subset of the lower cut of one. Lemma for recexpr 6828. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
recexpr.1	⊢ 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑥 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))}⟩

**Assertion**
Ref	Expression
recexprlemss1l	⊢ (𝐴 ∈ P → (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) ⊆ (1^st ‘1_P))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦,𝐴 𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem recexprlemss1l Dummy variables 𝑞 𝑧 𝑤 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexpr.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑥 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))}⟩
2	1	recexprlempr 6822	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐵 ∈ P)
3		df-imp 6659	. . . . . 6 ⊢ ·_P = (𝑦 ∈ P, 𝑤 ∈ P ↦ ⟨{𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑓 ∈ Q ∃𝑔 ∈ Q (𝑓 ∈ (1^st ‘𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (1^st ‘𝑤) ∧ 𝑢 = (𝑓 ·_Q 𝑔))}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑓 ∈ Q ∃𝑔 ∈ Q (𝑓 ∈ (2^nd ‘𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (2^nd ‘𝑤) ∧ 𝑢 = (𝑓 ·_Q 𝑔))}⟩)
4		mulclnq 6566	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 ·_Q 𝑔) ∈ Q)
5	3, 4	genpelvl 6702	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑤 ∈ (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) ↔ ∃𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)∃𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵)𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞)))
6	2, 5	mpdan 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) ↔ ∃𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)∃𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵)𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞)))
7	1	recexprlemell 6812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)))
8		ltrelnq 6555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ <_Q ⊆ (Q × Q)
9	8	brel 4410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 <_Q 𝑦 → (𝑞 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
10	9	simprd 112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 <_Q 𝑦 → 𝑦 ∈ Q)
11		prop 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ P → ⟨(1^st ‘𝐴), (2^nd ‘𝐴)⟩ ∈ P)
12		elprnql 6671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐴), (2^nd ‘𝐴)⟩ ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → 𝑧 ∈ Q)
13	11, 12	sylan 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → 𝑧 ∈ Q)
14		ltmnqi 6593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦))
15	14	expcom 114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑞 <_Q 𝑦 → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦)))
16	13, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑞 <_Q 𝑦 → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦)))
17	16	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑞 <_Q 𝑦 → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦)))
18		prltlu 6677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐴), (2^nd ‘𝐴)⟩ ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → 𝑧 <_Q (_Q‘𝑦))
19	11, 18	syl3an1 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → 𝑧 <_Q (_Q‘𝑦))
20	19	3expia 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → ((_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → 𝑧 <_Q (_Q‘𝑦)))
21	20	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → 𝑧 <_Q (_Q‘𝑦)))
22		ltmnqi 6593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 <_Q (_Q‘𝑦) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑦 ·_Q 𝑧) <_Q (𝑦 ·_Q (_Q‘𝑦)))
23	22	expcom 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑧 <_Q (_Q‘𝑦) → (𝑦 ·_Q 𝑧) <_Q (𝑦 ·_Q (_Q‘𝑦))))
24	23	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 <_Q (_Q‘𝑦) → (𝑦 ·_Q 𝑧) <_Q (𝑦 ·_Q (_Q‘𝑦))))
25		mulcomnqg 6573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 ·_Q 𝑧) = (𝑧 ·_Q 𝑦))
26		recidnq 6583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑦 ·_Q (*_Q‘𝑦)) = 1_Q)
27	26	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 ·_Q (*_Q‘𝑦)) = 1_Q)
28	25, 27	breq12d 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → ((𝑦 ·_Q 𝑧) <_Q (𝑦 ·_Q (*_Q‘𝑦)) ↔ (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q))
29	24, 28	sylibd 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 <_Q (*_Q‘𝑦) → (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q))
30	29	ancoms 264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 <_Q (*_Q‘𝑦) → (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q))
31	13, 30	sylan 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 <_Q (*_Q‘𝑦) → (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q))
32	21, 31	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q))
33	17, 32	anim12d 328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → ((𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦) ∧ (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q)))
34		ltsonq 6588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ <_Q Or Q
35	34, 8	sotri 4740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦) ∧ (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q)
36	33, 35	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))
37	36	exp4b 359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑦 ∈ Q → (𝑞 <_Q 𝑦 → ((*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))))
38	10, 37	syl5 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑞 <_Q 𝑦 → (𝑞 <_Q 𝑦 → ((*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))))
39	38	pm2.43d 49	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑞 <_Q 𝑦 → ((*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q)))
40	39	impd 251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))
41	40	exlimdv 1740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))
42	7, 41	syl5bi 150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))
43		breq1 3788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞) → (𝑤 <_Q 1_Q ↔ (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))
44	43	biimprcd 158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q → (𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞) → 𝑤 <_Q 1_Q))
45	42, 44	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) → (𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞) → 𝑤 <_Q 1_Q)))
46	45	expimpd 355	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → ((𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵)) → (𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞) → 𝑤 <_Q 1_Q)))
47	46	rexlimdvv 2483	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∃𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)∃𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵)𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞) → 𝑤 <_Q 1_Q))
48	6, 47	sylbid 148	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) → 𝑤 <_Q 1_Q))
49		1prl 6745	. . . 4 ⊢ (1^st ‘1_P) = {𝑤 ∣ 𝑤 <_Q 1_Q}
50	49	abeq2i 2189	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (1^st ‘1_P) ↔ 𝑤 <_Q 1_Q)
51	48, 50	syl6ibr 160	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) → 𝑤 ∈ (1^st ‘1_P)))
52	51	ssrdv 3005	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) ⊆ (1^st ‘1_P))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 102 ↔ wb 103 = wceq 1284 ∃wex 1421 ∈ wcel 1433 {cab 2067 ∃wrex 2349 ⊆ wss 2973 ⟨cop 3401 class class class wbr 3785 ‘cfv 4922 (class class class)co 5532 1^st c1st 5785 2^nd c2nd 5786 Qcnq 6470 1_Qc1q 6471 ·_Q cmq 6473 *_Qcrq 6474 <_Q cltq 6475 Pcnp 6481 1_Pc1p 6482 ·_P cmp 6484

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 576 ax-in2 577 ax-io 662 ax-5 1376 ax-7 1377 ax-gen 1378 ax-ie1 1422 ax-ie2 1423 ax-8 1435 ax-10 1436 ax-11 1437 ax-i12 1438 ax-bndl 1439 ax-4 1440 ax-13 1444 ax-14 1445 ax-17 1459 ax-i9 1463 ax-ial 1467 ax-i5r 1468 ax-ext 2063 ax-coll 3893 ax-sep 3896 ax-nul 3904 ax-pow 3948 ax-pr 3964 ax-un 4188 ax-setind 4280 ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 776 df-3or 920 df-3an 921 df-tru 1287 df-fal 1290 df-nf 1390 df-sb 1686 df-eu 1944 df-mo 1945 df-clab 2068 df-cleq 2074 df-clel 2077 df-nfc 2208 df-ne 2246 df-ral 2353 df-rex 2354 df-reu 2355 df-rab 2357 df-v 2603 df-sbc 2816 df-csb 2909 df-dif 2975 df-un 2977 df-in 2979 df-ss 2986 df-nul 3252 df-pw 3384 df-sn 3404 df-pr 3405 df-op 3407 df-uni 3602 df-int 3637 df-iun 3680 df-br 3786 df-opab 3840 df-mpt 3841 df-tr 3876 df-eprel 4044 df-id 4048 df-po 4051 df-iso 4052 df-iord 4121 df-on 4123 df-suc 4126 df-iom 4332 df-xp 4369 df-rel 4370 df-cnv 4371 df-co 4372 df-dm 4373 df-rn 4374 df-res 4375 df-ima 4376 df-iota 4887 df-fun 4924 df-fn 4925 df-f 4926 df-f1 4927 df-fo 4928 df-f1o 4929 df-fv 4930 df-ov 5535 df-oprab 5536 df-mpt2 5537 df-1st 5787 df-2nd 5788 df-recs 5943 df-irdg 5980 df-1o 6024 df-oadd 6028 df-omul 6029 df-er 6129 df-ec 6131 df-qs 6135 df-ni 6494 df-pli 6495 df-mi 6496 df-lti 6497 df-plpq 6534 df-mpq 6535 df-enq 6537 df-nqqs 6538 df-plqqs 6539 df-mqqs 6540 df-1nqqs 6541 df-rq 6542 df-ltnqqs 6543 df-inp 6656 df-i1p 6657 df-imp 6659

This theorem is referenced by: recexprlemex 6827

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