Theorem rexico 10107

Description: Restrict the base of an upper real quantifier to an upper real set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rexico	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem rexico

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 108	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		pnfxr 8846	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		icossre 8977	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	sylancl 404	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ)
5		ssrexv 3059	. . 3 ⊢ ((𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
7		maxcl 10096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8	7	adantll 459	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9		maxle1 10097	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ))
10	9	adantll 459	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ))
11		elicopnf 8992	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ))))
12	11	ad2antlr 472	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ))))
13	8, 10, 12	mpbir2and 885	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,)+∞))
14		simpllr 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
15		simplr 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ)
16		simpll 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
17	16	sselda 2999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℝ)
18		maxleastb 10100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 ↔ (𝐵 ≤ 𝑘 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘)))
19	14, 15, 17, 18	syl3anc 1169	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 ↔ (𝐵 ≤ 𝑘 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘)))
20		simpr 108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝑘 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘) → 𝑗 ≤ 𝑘)
21	19, 20	syl6bi 161	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → 𝑗 ≤ 𝑘))
22	21	imim1d 74	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → 𝜑)))
23	22	ralimdva 2429	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → 𝜑)))
24		breq1 3788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) → (𝑛 ≤ 𝑘 ↔ sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘))
25	24	imbi1d 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) → ((𝑛 ≤ 𝑘 → 𝜑) ↔ (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → 𝜑)))
26	25	ralbidv 2368	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑛 ≤ 𝑘 → 𝜑) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → 𝜑)))
27	26	rspcev 2701	. . . . 5 ⊢ ((sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → 𝜑)) → ∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑛 ≤ 𝑘 → 𝜑))
28	13, 23, 27	syl6an 1363	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑛 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
29	28	rexlimdva 2477	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑛 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
30		breq1 3788	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 ≤ 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
31	30	imbi1d 229	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝑛 ≤ 𝑘 → 𝜑) ↔ (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
32	31	ralbidv 2368	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑛 ≤ 𝑘 → 𝜑) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
33	32	cbvrexv 2578	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑛 ≤ 𝑘 → 𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑))
34	29, 33	syl6ib 159	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
35	6, 34	impbid 127	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348  ∃wrex 2349   ⊆ wss 2973  {cpr 3399   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  supcsup 6395  ℝcr 6980  +∞cpnf 7150  ℝ^*cxr 7152   < clt 7153   ≤ cle 7154  [,)cico 8913

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-sup 6397  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-rp 8735  df-ico 8917  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885

This theorem is referenced by: (None)