ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tpostpos GIF version

Theorem tpostpos 5902
Description: Value of the double transposition for a general class 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tpostpos tpos tpos 𝐹 = (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V))

Proof of Theorem tpostpos
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reltpos 5888 . 2 Rel tpos tpos 𝐹
2 inss2 3187 . . 3 (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V)) ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V)
3 relxp 4465 . . 3 Rel (((V × V) ∪ {∅}) × V)
4 relss 4445 . . 3 ((𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V)) ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V) → (Rel (((V × V) ∪ {∅}) × V) → Rel (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V))))
52, 3, 4mp2 16 . 2 Rel (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
6 relcnv 4723 . . . . . . . . 9 Rel dom tpos 𝐹
7 df-rel 4370 . . . . . . . . 9 (Rel dom tpos 𝐹dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V))
86, 7mpbi 143 . . . . . . . 8 dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V)
9 simpl 107 . . . . . . . 8 ((𝑤dom tpos 𝐹 {𝑤}tpos 𝐹𝑧) → 𝑤dom tpos 𝐹)
108, 9sseldi 2997 . . . . . . 7 ((𝑤dom tpos 𝐹 {𝑤}tpos 𝐹𝑧) → 𝑤 ∈ (V × V))
11 simpr 108 . . . . . . 7 ((𝑤𝐹𝑧𝑤 ∈ (V × V)) → 𝑤 ∈ (V × V))
12 elvv 4420 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (V × V) ↔ ∃𝑥𝑦 𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
13 eleq1 2141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑤dom tpos 𝐹 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ dom tpos 𝐹))
14 vex 2604 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
15 vex 2604 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ V
1614, 15opelcnv 4535 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ dom tpos 𝐹 ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ dom tpos 𝐹)
1713, 16syl6bb 194 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑤dom tpos 𝐹 ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ dom tpos 𝐹))
18 sneq 3409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → {𝑤} = {⟨𝑥, 𝑦⟩})
1918cnveqd 4529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → {𝑤} = {⟨𝑥, 𝑦⟩})
2019unieqd 3612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → {𝑤} = {⟨𝑥, 𝑦⟩})
21 opswapg 4827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → {⟨𝑥, 𝑦⟩} = ⟨𝑦, 𝑥⟩)
2214, 15, 21mp2an 416 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨𝑥, 𝑦⟩} = ⟨𝑦, 𝑥
2320, 22syl6eq 2129 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → {𝑤} = ⟨𝑦, 𝑥⟩)
2423breq1d 3795 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ( {𝑤}tpos 𝐹𝑧 ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩tpos 𝐹𝑧))
2517, 24anbi12d 456 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑤dom tpos 𝐹 {𝑤}tpos 𝐹𝑧) ↔ (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ dom tpos 𝐹 ∧ ⟨𝑦, 𝑥⟩tpos 𝐹𝑧)))
2615, 14opex 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦, 𝑥⟩ ∈ V
27 vex 2604 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧 ∈ V
2826, 27breldm 4557 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨𝑦, 𝑥⟩tpos 𝐹𝑧 → ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ dom tpos 𝐹)
2928pm4.71ri 384 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨𝑦, 𝑥⟩tpos 𝐹𝑧 ↔ (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ dom tpos 𝐹 ∧ ⟨𝑦, 𝑥⟩tpos 𝐹𝑧))
30 brtposg 5892 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → (⟨𝑦, 𝑥⟩tpos 𝐹𝑧 ↔ ⟨𝑥, 𝑦𝐹𝑧))
3115, 14, 27, 30mp3an 1268 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨𝑦, 𝑥⟩tpos 𝐹𝑧 ↔ ⟨𝑥, 𝑦𝐹𝑧)
3229, 31bitr3i 184 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ dom tpos 𝐹 ∧ ⟨𝑦, 𝑥⟩tpos 𝐹𝑧) ↔ ⟨𝑥, 𝑦𝐹𝑧)
3325, 32syl6bb 194 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑤dom tpos 𝐹 {𝑤}tpos 𝐹𝑧) ↔ ⟨𝑥, 𝑦𝐹𝑧))
34 breq1 3788 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑤𝐹𝑧 ↔ ⟨𝑥, 𝑦𝐹𝑧))
3533, 34bitr4d 189 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑤dom tpos 𝐹 {𝑤}tpos 𝐹𝑧) ↔ 𝑤𝐹𝑧))
3635exlimivv 1817 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝑦 𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑤dom tpos 𝐹 {𝑤}tpos 𝐹𝑧) ↔ 𝑤𝐹𝑧))
3712, 36sylbi 119 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (V × V) → ((𝑤dom tpos 𝐹 {𝑤}tpos 𝐹𝑧) ↔ 𝑤𝐹𝑧))
38 iba 294 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (V × V) → (𝑤𝐹𝑧 ↔ (𝑤𝐹𝑧𝑤 ∈ (V × V))))
3937, 38bitrd 186 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (V × V) → ((𝑤dom tpos 𝐹 {𝑤}tpos 𝐹𝑧) ↔ (𝑤𝐹𝑧𝑤 ∈ (V × V))))
4010, 11, 39pm5.21nii 652 . . . . . 6 ((𝑤dom tpos 𝐹 {𝑤}tpos 𝐹𝑧) ↔ (𝑤𝐹𝑧𝑤 ∈ (V × V)))
41 elsni 3416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ {∅} → 𝑤 = ∅)
4241sneqd 3411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ {∅} → {𝑤} = {∅})
4342cnveqd 4529 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ {∅} → {𝑤} = {∅})
44 cnvsn0 4809 . . . . . . . . . . . . . 14 {∅} = ∅
4543, 44syl6eq 2129 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ {∅} → {𝑤} = ∅)
4645unieqd 3612 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ {∅} → {𝑤} = ∅)
47 uni0 3628 . . . . . . . . . . . 12 ∅ = ∅
4846, 47syl6eq 2129 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ {∅} → {𝑤} = ∅)
4948breq1d 3795 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ {∅} → ( {𝑤}tpos 𝐹𝑧 ↔ ∅tpos 𝐹𝑧))
50 brtpos0 5890 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ V → (∅tpos 𝐹𝑧 ↔ ∅𝐹𝑧))
5127, 50ax-mp 7 . . . . . . . . . 10 (∅tpos 𝐹𝑧 ↔ ∅𝐹𝑧)
5249, 51syl6bb 194 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ {∅} → ( {𝑤}tpos 𝐹𝑧 ↔ ∅𝐹𝑧))
5341breq1d 3795 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ {∅} → (𝑤𝐹𝑧 ↔ ∅𝐹𝑧))
5452, 53bitr4d 189 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ {∅} → ( {𝑤}tpos 𝐹𝑧𝑤𝐹𝑧))
5554pm5.32i 441 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ {∅} ∧ {𝑤}tpos 𝐹𝑧) ↔ (𝑤 ∈ {∅} ∧ 𝑤𝐹𝑧))
56 ancom 262 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ {∅} ∧ 𝑤𝐹𝑧) ↔ (𝑤𝐹𝑧𝑤 ∈ {∅}))
5755, 56bitri 182 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ {∅} ∧ {𝑤}tpos 𝐹𝑧) ↔ (𝑤𝐹𝑧𝑤 ∈ {∅}))
5840, 57orbi12i 713 . . . . 5 (((𝑤dom tpos 𝐹 {𝑤}tpos 𝐹𝑧) ∨ (𝑤 ∈ {∅} ∧ {𝑤}tpos 𝐹𝑧)) ↔ ((𝑤𝐹𝑧𝑤 ∈ (V × V)) ∨ (𝑤𝐹𝑧𝑤 ∈ {∅})))
59 andir 765 . . . . 5 (((𝑤dom tpos 𝐹𝑤 ∈ {∅}) ∧ {𝑤}tpos 𝐹𝑧) ↔ ((𝑤dom tpos 𝐹 {𝑤}tpos 𝐹𝑧) ∨ (𝑤 ∈ {∅} ∧ {𝑤}tpos 𝐹𝑧)))
60 andi 764 . . . . 5 ((𝑤𝐹𝑧 ∧ (𝑤 ∈ (V × V) ∨ 𝑤 ∈ {∅})) ↔ ((𝑤𝐹𝑧𝑤 ∈ (V × V)) ∨ (𝑤𝐹𝑧𝑤 ∈ {∅})))
6158, 59, 603bitr4i 210 . . . 4 (((𝑤dom tpos 𝐹𝑤 ∈ {∅}) ∧ {𝑤}tpos 𝐹𝑧) ↔ (𝑤𝐹𝑧 ∧ (𝑤 ∈ (V × V) ∨ 𝑤 ∈ {∅})))
62 elun 3113 . . . . 5 (𝑤 ∈ (dom tpos 𝐹 ∪ {∅}) ↔ (𝑤dom tpos 𝐹𝑤 ∈ {∅}))
6362anbi1i 445 . . . 4 ((𝑤 ∈ (dom tpos 𝐹 ∪ {∅}) ∧ {𝑤}tpos 𝐹𝑧) ↔ ((𝑤dom tpos 𝐹𝑤 ∈ {∅}) ∧ {𝑤}tpos 𝐹𝑧))
64 brxp 4393 . . . . . . 7 (𝑤(((V × V) ∪ {∅}) × V)𝑧 ↔ (𝑤 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ∧ 𝑧 ∈ V))
6527, 64mpbiran2 882 . . . . . 6 (𝑤(((V × V) ∪ {∅}) × V)𝑧𝑤 ∈ ((V × V) ∪ {∅}))
66 elun 3113 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↔ (𝑤 ∈ (V × V) ∨ 𝑤 ∈ {∅}))
6765, 66bitri 182 . . . . 5 (𝑤(((V × V) ∪ {∅}) × V)𝑧 ↔ (𝑤 ∈ (V × V) ∨ 𝑤 ∈ {∅}))
6867anbi2i 444 . . . 4 ((𝑤𝐹𝑧𝑤(((V × V) ∪ {∅}) × V)𝑧) ↔ (𝑤𝐹𝑧 ∧ (𝑤 ∈ (V × V) ∨ 𝑤 ∈ {∅})))
6961, 63, 683bitr4i 210 . . 3 ((𝑤 ∈ (dom tpos 𝐹 ∪ {∅}) ∧ {𝑤}tpos 𝐹𝑧) ↔ (𝑤𝐹𝑧𝑤(((V × V) ∪ {∅}) × V)𝑧))
70 brtpos2 5889 . . . 4 (𝑧 ∈ V → (𝑤tpos tpos 𝐹𝑧 ↔ (𝑤 ∈ (dom tpos 𝐹 ∪ {∅}) ∧ {𝑤}tpos 𝐹𝑧)))
7127, 70ax-mp 7 . . 3 (𝑤tpos tpos 𝐹𝑧 ↔ (𝑤 ∈ (dom tpos 𝐹 ∪ {∅}) ∧ {𝑤}tpos 𝐹𝑧))
72 brin 3832 . . 3 (𝑤(𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V))𝑧 ↔ (𝑤𝐹𝑧𝑤(((V × V) ∪ {∅}) × V)𝑧))
7369, 71, 723bitr4i 210 . 2 (𝑤tpos tpos 𝐹𝑧𝑤(𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V))𝑧)
741, 5, 73eqbrriv 4453 1 tpos tpos 𝐹 = (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103  wo 661   = wceq 1284  wex 1421  wcel 1433  Vcvv 2601  cun 2971  cin 2972  wss 2973  c0 3251  {csn 3398  cop 3401   cuni 3601   class class class wbr 3785   × cxp 4361  ccnv 4362  dom cdm 4363  Rel wrel 4368  tpos ctpos 5882
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-fv 4930  df-tpos 5883
This theorem is referenced by:  tpostpos2  5903
  Copyright terms: Public domain W3C validator