Theorem 0even 41931

Description: 0 is an even integer. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
2zrng.e	|- E = { z e. ZZ | E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) }

Assertion

Ref	Expression
0even	|- 0 e. E

Distinct variable group:   x, z

Allowed substitution hints:   E( x, z)

Proof of Theorem 0even

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11388	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		2cn 11091	. . . 4 |- 2 e. CC
3		0zd 11389	. . . . 5 |- ( 2 e. CC -> 0 e. ZZ )
4		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. 0 ) )
5	4	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( 0 = ( 2 x. x ) <-> 0 = ( 2 x. 0 ) ) )
6	5	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( 2 e. CC /\ x = 0 ) -> ( 0 = ( 2 x. x ) <-> 0 = ( 2 x. 0 ) ) )
7		mul01 10215	. . . . . 6 |- ( 2 e. CC -> ( 2 x. 0 ) = 0 )
8	7	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( 2 e. CC -> 0 = ( 2 x. 0 ) )
9	3, 6, 8	rspcedvd 3317	. . . 4 |- ( 2 e. CC -> E. x e. ZZ 0 = ( 2 x. x ) )
10	2, 9	ax-mp 5	. . 3 |- E. x e. ZZ 0 = ( 2 x. x )
11		eqeq1 2626	. . . . 5 |- ( z = 0 -> ( z = ( 2 x. x ) <-> 0 = ( 2 x. x ) ) )
12	11	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( z = 0 -> ( E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) <-> E. x e. ZZ 0 = ( 2 x. x ) ) )
13	12	elrab 3363	. . 3 |- ( 0 e. { z e. ZZ | E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) } <-> ( 0 e. ZZ /\ E. x e. ZZ 0 = ( 2 x. x ) ) )
14	1, 10, 13	mpbir2an 955	. 2 |- 0 e. { z e. ZZ | E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) }
15		2zrng.e	. 2 |- E = { z e. ZZ | E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) }
16	14, 15	eleqtrri 2700	1 |- 0 e. E

Syntax hints:   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   x. cmul 9941   2c2 11070   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-neg 10269  df-2 11079  df-z 11378

This theorem is referenced by:  2zlidl  41934  2zrng0  41938  2zrngamnd  41941  2zrngacmnd  41942  2zrngmmgm  41946