Theorem 2zlidl 41934

Description: The even integers are a (left) ideal of the ring of integers. (Contributed by AV, 20-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	|- E = { z e. ZZ | E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) }
2zlidl.u	|- U = (LIdeal ` ℤring )

Assertion

Ref	Expression
2zlidl	|- E e. U

Distinct variable group:   x, z

Allowed substitution hints:   U( x, z)   E( x, z)

Proof of Theorem 2zlidl

Dummy variables k a b i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 |- E = { z e. ZZ | E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) }
2		ssrab2 3687	. . 3 |- { z e. ZZ | E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) } C_ ZZ
3	1, 2	eqsstri 3635	. 2 |- E C_ ZZ
4	1	0even 41931	. . 3 |- 0 e. E
5	4	ne0ii 3923	. 2 |- E =/= (/)
6		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( z = j -> ( z = ( 2 x. x ) <-> j = ( 2 x. x ) ) )
7	6	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( z = j -> ( E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) <-> E. x e. ZZ j = ( 2 x. x ) ) )
8	7, 1	elrab2 3366	. . . . . 6 |- ( j e. E <-> ( j e. ZZ /\ E. x e. ZZ j = ( 2 x. x ) ) )
9		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( z = k -> ( z = ( 2 x. x ) <-> k = ( 2 x. x ) ) )
10	9	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( z = k -> ( E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) <-> E. x e. ZZ k = ( 2 x. x ) ) )
11	10, 1	elrab2 3366	. . . . . 6 |- ( k e. E <-> ( k e. ZZ /\ E. x e. ZZ k = ( 2 x. x ) ) )
12	8, 11	anbi12i 733	. . . . 5 |- ( ( j e. E /\ k e. E ) <-> ( ( j e. ZZ /\ E. x e. ZZ j = ( 2 x. x ) ) /\ ( k e. ZZ /\ E. x e. ZZ k = ( 2 x. x ) ) ) )
13		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( i e. ZZ /\ ( ( j e. ZZ /\ E. x e. ZZ j = ( 2 x. x ) ) /\ ( k e. ZZ /\ E. x e. ZZ k = ( 2 x. x ) ) ) ) -> i e. ZZ )
14		simprll 802	. . . . . . . 8 |- ( ( i e. ZZ /\ ( ( j e. ZZ /\ E. x e. ZZ j = ( 2 x. x ) ) /\ ( k e. ZZ /\ E. x e. ZZ k = ( 2 x. x ) ) ) ) -> j e. ZZ )
15	13, 14	zmulcld 11488	. . . . . . 7 |- ( ( i e. ZZ /\ ( ( j e. ZZ /\ E. x e. ZZ j = ( 2 x. x ) ) /\ ( k e. ZZ /\ E. x e. ZZ k = ( 2 x. x ) ) ) ) -> ( i x. j ) e. ZZ )
16		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ZZ /\ E. x e. ZZ k = ( 2 x. x ) ) -> k e. ZZ )
17	16	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( j e. ZZ /\ E. x e. ZZ j = ( 2 x. x ) ) /\ ( k e. ZZ /\ E. x e. ZZ k = ( 2 x. x ) ) ) -> k e. ZZ )
18	17	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( i e. ZZ /\ ( ( j e. ZZ /\ E. x e. ZZ j = ( 2 x. x ) ) /\ ( k e. ZZ /\ E. x e. ZZ k = ( 2 x. x ) ) ) ) -> k e. ZZ )
19	15, 18	zaddcld 11486	. . . . . 6 |- ( ( i e. ZZ /\ ( ( j e. ZZ /\ E. x e. ZZ j = ( 2 x. x ) ) /\ ( k e. ZZ /\ E. x e. ZZ k = ( 2 x. x ) ) ) ) -> ( ( i x. j ) + k ) e. ZZ )
20		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = a -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. a ) )
21	20	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( j = ( 2 x. x ) <-> j = ( 2 x. a ) ) )
22	21	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. ZZ j = ( 2 x. x ) <-> E. a e. ZZ j = ( 2 x. a ) )
23		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = b -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. b ) )
24	23	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = b -> ( k = ( 2 x. x ) <-> k = ( 2 x. b ) ) )
25	24	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. x e. ZZ k = ( 2 x. x ) <-> E. b e. ZZ k = ( 2 x. b ) )
26		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) ) /\ i e. ZZ ) -> i e. ZZ )
27		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) ) -> a e. ZZ )
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) ) /\ i e. ZZ ) -> a e. ZZ )
29	26, 28	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) ) /\ i e. ZZ ) -> ( i x. a ) e. ZZ )
30		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) ) /\ i e. ZZ ) -> b e. ZZ )
31	29, 30	zaddcld 11486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) ) /\ i e. ZZ ) -> ( ( i x. a ) + b ) e. ZZ )
32		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) -> j = ( 2 x. a ) )
33	32	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) ) -> j = ( 2 x. a ) )
34	33	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) ) -> ( i x. j ) = ( i x. ( 2 x. a ) ) )
35		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) ) -> k = ( 2 x. b ) )
36	34, 35	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) ) -> ( ( i x. j ) + k ) = ( ( i x. ( 2 x. a ) ) + ( 2 x. b ) ) )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) ) /\ i e. ZZ ) -> ( ( i x. j ) + k ) = ( ( i x. ( 2 x. a ) ) + ( 2 x. b ) ) )
38		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( ( i x. a ) + b ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. ( ( i x. a ) + b ) ) )
39	37, 38	eqeqan12d 2638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) ) /\ i e. ZZ ) /\ x = ( ( i x. a ) + b ) ) -> ( ( ( i x. j ) + k ) = ( 2 x. x ) <-> ( ( i x. ( 2 x. a ) ) + ( 2 x. b ) ) = ( 2 x. ( ( i x. a ) + b ) ) ) )
40		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i e. ZZ -> i e. CC )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) ) /\ i e. ZZ ) -> i e. CC )
42		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) ) /\ i e. ZZ ) -> 2 e. CC )
43		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( a e. ZZ -> a e. CC )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) -> a e. CC )
45	44	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) ) -> a e. CC )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) ) /\ i e. ZZ ) -> a e. CC )
47	41, 42, 46	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) ) /\ i e. ZZ ) -> ( i x. ( 2 x. a ) ) = ( 2 x. ( i x. a ) ) )
48	47	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) ) /\ i e. ZZ ) -> ( ( i x. ( 2 x. a ) ) + ( 2 x. b ) ) = ( ( 2 x. ( i x. a ) ) + ( 2 x. b ) ) )
49	41, 46	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) ) /\ i e. ZZ ) -> ( i x. a ) e. CC )
50		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b e. ZZ -> b e. CC )
51	50	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) ) /\ i e. ZZ ) -> b e. CC )
52	42, 49, 51	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) ) /\ i e. ZZ ) -> ( 2 x. ( ( i x. a ) + b ) ) = ( ( 2 x. ( i x. a ) ) + ( 2 x. b ) ) )
53	48, 52	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) ) /\ i e. ZZ ) -> ( ( i x. ( 2 x. a ) ) + ( 2 x. b ) ) = ( 2 x. ( ( i x. a ) + b ) ) )
54	31, 39, 53	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) ) /\ i e. ZZ ) -> E. x e. ZZ ( ( i x. j ) + k ) = ( 2 x. x ) )
55	54	exp41 638	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. ZZ /\ k = ( 2 x. b ) ) -> ( k e. ZZ -> ( ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) -> ( i e. ZZ -> E. x e. ZZ ( ( i x. j ) + k ) = ( 2 x. x ) ) ) ) )
56	55	rexlimiva 3028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. b e. ZZ k = ( 2 x. b ) -> ( k e. ZZ -> ( ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) -> ( i e. ZZ -> E. x e. ZZ ( ( i x. j ) + k ) = ( 2 x. x ) ) ) ) )
57	25, 56	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. ZZ k = ( 2 x. x ) -> ( k e. ZZ -> ( ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) -> ( i e. ZZ -> E. x e. ZZ ( ( i x. j ) + k ) = ( 2 x. x ) ) ) ) )
58	57	impcom 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ E. x e. ZZ k = ( 2 x. x ) ) -> ( ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) /\ j e. ZZ ) -> ( i e. ZZ -> E. x e. ZZ ( ( i x. j ) + k ) = ( 2 x. x ) ) ) )
59	58	expdcom 455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ZZ /\ j = ( 2 x. a ) ) -> ( j e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ E. x e. ZZ k = ( 2 x. x ) ) -> ( i e. ZZ -> E. x e. ZZ ( ( i x. j ) + k ) = ( 2 x. x ) ) ) ) )
60	59	rexlimiva 3028	. . . . . . . . . 10 |- ( E. a e. ZZ j = ( 2 x. a ) -> ( j e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ E. x e. ZZ k = ( 2 x. x ) ) -> ( i e. ZZ -> E. x e. ZZ ( ( i x. j ) + k ) = ( 2 x. x ) ) ) ) )
61	22, 60	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. ZZ j = ( 2 x. x ) -> ( j e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ E. x e. ZZ k = ( 2 x. x ) ) -> ( i e. ZZ -> E. x e. ZZ ( ( i x. j ) + k ) = ( 2 x. x ) ) ) ) )
62	61	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ZZ /\ E. x e. ZZ j = ( 2 x. x ) ) -> ( ( k e. ZZ /\ E. x e. ZZ k = ( 2 x. x ) ) -> ( i e. ZZ -> E. x e. ZZ ( ( i x. j ) + k ) = ( 2 x. x ) ) ) )
63	62	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( j e. ZZ /\ E. x e. ZZ j = ( 2 x. x ) ) /\ ( k e. ZZ /\ E. x e. ZZ k = ( 2 x. x ) ) ) -> ( i e. ZZ -> E. x e. ZZ ( ( i x. j ) + k ) = ( 2 x. x ) ) )
64	63	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( i e. ZZ /\ ( ( j e. ZZ /\ E. x e. ZZ j = ( 2 x. x ) ) /\ ( k e. ZZ /\ E. x e. ZZ k = ( 2 x. x ) ) ) ) -> E. x e. ZZ ( ( i x. j ) + k ) = ( 2 x. x ) )
65		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( i x. j ) + k ) -> ( z = ( 2 x. x ) <-> ( ( i x. j ) + k ) = ( 2 x. x ) ) )
66	65	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( z = ( ( i x. j ) + k ) -> ( E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) <-> E. x e. ZZ ( ( i x. j ) + k ) = ( 2 x. x ) ) )
67	66, 1	elrab2 3366	. . . . . 6 |- ( ( ( i x. j ) + k ) e. E <-> ( ( ( i x. j ) + k ) e. ZZ /\ E. x e. ZZ ( ( i x. j ) + k ) = ( 2 x. x ) ) )
68	19, 64, 67	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( i e. ZZ /\ ( ( j e. ZZ /\ E. x e. ZZ j = ( 2 x. x ) ) /\ ( k e. ZZ /\ E. x e. ZZ k = ( 2 x. x ) ) ) ) -> ( ( i x. j ) + k ) e. E )
69	12, 68	sylan2b 492	. . . 4 |- ( ( i e. ZZ /\ ( j e. E /\ k e. E ) ) -> ( ( i x. j ) + k ) e. E )
70	69	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( i e. ZZ -> A. j e. E A. k e. E ( ( i x. j ) + k ) e. E )
71	70	rgen 2922	. 2 |- A. i e. ZZ A. j e. E A. k e. E ( ( i x. j ) + k ) e. E
72		2zlidl.u	. . 3 |- U = (LIdeal ` ℤring )
73		zringbas 19824	. . 3 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
74		zringplusg 19825	. . 3 |- + = ( +g ` ℤring )
75		zringmulr 19827	. . 3 |- x. = ( .r ` ℤring )
76	72, 73, 74, 75	islidl 19211	. 2 |- ( E e. U <-> ( E C_ ZZ /\ E =/= (/) /\ A. i e. ZZ A. j e. E A. k e. E ( ( i x. j ) + k ) e. E ) )
77	3, 5, 71, 76	mpbir3an 1244	1 |- E e. U

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   2c2 11070   ZZcz 11377  LIdealclidl 19170  ℤ_ringzring 19818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-cnfld 19747  df-zring 19819

This theorem is referenced by:  2zrng  41935