Theorem 0hf 32284

Description: The empty set is a hereditarily finite set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0hf	|- (/) e. Hf

Proof of Theorem 0hf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7085	. . . 4 |- (/) e. om
2		peano2 7086	. . . 4 |- ( (/) e. om -> suc (/) e. om )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- suc (/) e. om
4		0elpw 4834	. . . 4 |- (/) e. ~P ( R1 ` (/) )
5		0elon 5778	. . . . 5 |- (/) e. On
6		r1suc 8633	. . . . 5 |- ( (/) e. On -> ( R1 ` suc (/) ) = ~P ( R1 ` (/) ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 |- ( R1 ` suc (/) ) = ~P ( R1 ` (/) )
8	4, 7	eleqtrri 2700	. . 3 |- (/) e. ( R1 ` suc (/) )
9		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( x = suc (/) -> ( R1 ` x ) = ( R1 ` suc (/) ) )
10	9	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( x = suc (/) -> ( (/) e. ( R1 ` x ) <-> (/) e. ( R1 ` suc (/) ) ) )
11	10	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( suc (/) e. om /\ (/) e. ( R1 ` suc (/) ) ) -> E. x e. om (/) e. ( R1 ` x ) )
12	3, 8, 11	mp2an 708	. 2 |- E. x e. om (/) e. ( R1 ` x )
13		elhf 32281	. 2 |- ( (/) e. Hf <-> E. x e. om (/) e. ( R1 ` x ) )
14	12, 13	mpbir 221	1 |- (/) e. Hf

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   Oncon0 5723   suc csuc 5725   ` cfv 5888   omcom 7065   R1cr1 8625   Hf chf 32279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-r1 8627  df-hf 32280

This theorem is referenced by: (None)